Словарь терминов планиметрии - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С … Википедия

Коллинеарные точки

Конкурентные прямые - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Окружность Аполония - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Преобразование плоскости - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Чевиана - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Глоссарий планиметрии - Эта страница глоссарий. См. также основную статью: Планиметрия Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице) … Википедия

Задача Аполлония - Задача Аполлония построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна … Википедия

Задача Аполония - Задача Аполлония построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна, но была… … Википедия

Диаграмма Вороного - случайного множества точек на плоскости Диаграмма Вороного конечного множества точек S на плоскости представляет такое разбиение плоскости, при котором ка … Википедия

На предыдущем уроке мы рассмотрели свойства биссектрисы угла как заключенного в треугольник, так и свободного. Треугольник включает в себя три угла и для каждого из них рассмотренные свойства биссектрисы сохраняются.

Теорема:

Биссектрисы АА 1 , ВВ 1 , СС 1 треугольника пересекаются в одной точке О (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к теореме

Доказательство:

Рассмотрим сначала две биссектрисы ВВ 1 и СС 1 . Они пересекаются, точка пересечения О существует. Чтобы доказать это, предположим противное: пусть данные биссектрисы не пересекаются, в таком случае они параллельны. Тогда прямая ВС является секущей и сумма углов , это противоречит тому, что во всем треугольнике сумма углов .

Итак, точка О пересечения двух биссектрис существует. Рассмотрим ее свойства:

Точка О лежит на биссектрисе угла , значит, она равноудалена от его сторон ВА и ВС. Если ОК - перпендикуляр к ВС, OL - перпендикуляр к ВА, то длины этих перпендикуляров равны - . Также точка О лежит на биссектрисе угла и равноудалена от его сторон CВ и СА, перпендикуляры ОМ и ОК равны.

Получили следующие равенства:

, то есть все три перпендикуляра, опущенные из точки О на стороны треугольника, равны между собой.

Нас интересует равенство перпендикуляров OL и ОМ. Это равенство говорит о том, что точка О равноудалена от сторон угла , отсюда следует, что она лежит на его биссектрисе АА 1 .

Таким образом, мы доказали, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Кроме того, треугольник состоит из трех отрезков, значит, нам следует рассмотреть свойства отдельного отрезка.

Задан отрезок АВ. У любого отрезка есть середина, и через нее можно провести перпендикуляр - обозначим его за р. Таким образом, р - серединный перпендикуляр.

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка.

Доказать, что (рис. 2).

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и . Они прямоугольные и равные, т. к. имеют общий катет ОМ, а катеты АО и ОВ равны по условию, таким образом, имеем два прямоугольных треугольника, равных по двум катетам. Отсюда следует, что гипотенузы треугольников тоже равны, то есть, , что и требовалось доказать.

Справедлива обратная теорема.

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Задан отрезок АВ, серединный перпендикуляр к нему р, точка М, равноудаленная от концов отрезка. Доказать, что точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к теореме

Доказательство:

Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный, так как по условию. Рассмотрим медиану треугольника: точка О - середина основания АВ, ОМ - медиана. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является одновременно высотой и биссектрисой. Отсюда следует, что . Но прямая р также перпендикулярна АВ. Мы знаем, что в точку О можно провести единственный перпендикуляр к отрезку АВ, значит прямые ОМ и р совпадают, отсюда следует, что точка М принадлежит прямой р, что и требовалось доказать.

Прямую и обратную теоремы можно обобщить.

Точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку тогда и только тогда, когда она равноудалена от концов этого отрезка.

Итак, повторим, что в треугольнике три отрезка и к каждому из них применимо свойство серединного перпендикуляра.

Теорема:

Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

Задан треугольник . Перпендикуляры к его сторонам: Р 1 к стороне ВС, Р 2 к стороне АС, Р 3 к стороне АВ.

Доказать, что перпендикуляры Р 1 , Р 2 и Р 3 пересекаются в точке О (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к теореме

Доказательство:

Рассмотрим два серединных перпендикуляра Р 2 и Р 3 , они пересекаются, точка пересечения О существует. Докажем этот факт от противного - пусть перпендикуляры Р 2 и Р 3 параллельны. Тогда угол развернутый, что противоречит тому факту, что сумма трех углов треугольника составляет . Итак, существует точка О пересечения двух из трех серединных перпендикуляров. Свойства точки О: она лежит на серединном перпендикуляре к стороне АВ, значит, она равноудалена от концов отрезка АВ: . Также она лежит на серединном перпендикуляре к стороне АС, значит, . Получили следующие равенства.

На предыдущем уроке мы рассмотрели свойства биссектрисы угла как заключенного в треугольник, так и свободного. Треугольник включает в себя три угла и для каждого из них рассмотренные свойства биссектрисы сохраняются.

Теорема:

Биссектрисы АА 1 , ВВ 1 , СС 1 треугольника пересекаются в одной точке О (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к теореме

Доказательство:

Рассмотрим сначала две биссектрисы ВВ 1 и СС 1 . Они пересекаются, точка пересечения О существует. Чтобы доказать это, предположим противное: пусть данные биссектрисы не пересекаются, в таком случае они параллельны. Тогда прямая ВС является секущей и сумма углов , это противоречит тому, что во всем треугольнике сумма углов .

Итак, точка О пересечения двух биссектрис существует. Рассмотрим ее свойства:

Точка О лежит на биссектрисе угла , значит, она равноудалена от его сторон ВА и ВС. Если ОК - перпендикуляр к ВС, OL - перпендикуляр к ВА, то длины этих перпендикуляров равны - . Также точка О лежит на биссектрисе угла и равноудалена от его сторон CВ и СА, перпендикуляры ОМ и ОК равны.

Получили следующие равенства:

, то есть все три перпендикуляра, опущенные из точки О на стороны треугольника, равны между собой.

Нас интересует равенство перпендикуляров OL и ОМ. Это равенство говорит о том, что точка О равноудалена от сторон угла , отсюда следует, что она лежит на его биссектрисе АА 1 .

Таким образом, мы доказали, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Кроме того, треугольник состоит из трех отрезков, значит, нам следует рассмотреть свойства отдельного отрезка.

Задан отрезок АВ. У любого отрезка есть середина, и через нее можно провести перпендикуляр - обозначим его за р. Таким образом, р - серединный перпендикуляр.

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка.

Доказать, что (рис. 2).

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и . Они прямоугольные и равные, т. к. имеют общий катет ОМ, а катеты АО и ОВ равны по условию, таким образом, имеем два прямоугольных треугольника, равных по двум катетам. Отсюда следует, что гипотенузы треугольников тоже равны, то есть, , что и требовалось доказать.

Справедлива обратная теорема.

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Задан отрезок АВ, серединный перпендикуляр к нему р, точка М, равноудаленная от концов отрезка. Доказать, что точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к теореме

Доказательство:

Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный, так как по условию. Рассмотрим медиану треугольника: точка О - середина основания АВ, ОМ - медиана. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является одновременно высотой и биссектрисой. Отсюда следует, что . Но прямая р также перпендикулярна АВ. Мы знаем, что в точку О можно провести единственный перпендикуляр к отрезку АВ, значит прямые ОМ и р совпадают, отсюда следует, что точка М принадлежит прямой р, что и требовалось доказать.

Прямую и обратную теоремы можно обобщить.

Точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку тогда и только тогда, когда она равноудалена от концов этого отрезка.

Итак, повторим, что в треугольнике три отрезка и к каждому из них применимо свойство серединного перпендикуляра.

Теорема:

Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

Задан треугольник . Перпендикуляры к его сторонам: Р 1 к стороне ВС, Р 2 к стороне АС, Р 3 к стороне АВ.

Доказать, что перпендикуляры Р 1 , Р 2 и Р 3 пересекаются в точке О (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к теореме

Доказательство:

Рассмотрим два серединных перпендикуляра Р 2 и Р 3 , они пересекаются, точка пересечения О существует. Докажем этот факт от противного - пусть перпендикуляры Р 2 и Р 3 параллельны. Тогда угол развернутый, что противоречит тому факту, что сумма трех углов треугольника составляет . Итак, существует точка О пересечения двух из трех серединных перпендикуляров. Свойства точки О: она лежит на серединном перпендикуляре к стороне АВ, значит, она равноудалена от концов отрезка АВ: . Также она лежит на серединном перпендикуляре к стороне АС, значит, . Получили следующие равенства.

Дать представление о новом классе задач - построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки без масштабных делений.

Ввести понятие ГМТ.

Дать определение серединного перпендикуляра научить строить его и доказать терему о серединном перпендикуляре, а так же обратную ей.

С помощью системы компьютерного черчения “Компас-3D” выполнить геометрические построения, которые рекомендуется проводить в курсе геометрии с помощью циркуля и линейки.

Раздаточный материал (Приложение №1)

Задачи на построение циркулем и линейкой без делений решаются чаще всего по определённой схеме:

I. Анализ : Чертят искомую фигуру схематично и устанавливают связи между данными задачи и искомыми элементами.

II. Построение : По намеченному плану выполняют построение циркулем и линейкой.

III. Доказательство : Доказывают, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

IV. Исследование : Проводят исследование, при любых ли данных задача имеет решение и если имеет, сколько решений (выполняют не во всех задачах).

Вот несколько примеров элементарных задач на построение, которые мы с вами будем рассматривать:

1. Отложить отрезок, равный данному (изучено ранее).

2. Построение серединного перпендикуляра к отрезку:

• построить середину данного отрезка;
• построить прямую, проходящую через заданную точку и перпендикулярно заданной прямой (точка может лежать или не лежать на заданной прямой).

3. Построение биссектрисы угла.

4. Построение угла равного данному.

Серединный перпендикуляр к отрезку.

Определение: Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Задача: “Построить серединный перпендикуляр к отрезку”. Презентация

О – середина АВ

Описание построения (слайд №4 ):

Луч а; А – начало луча

Окружность (А; r =m)

Окружность а = В; АВ = m

Окружность 1 (А; r 1 > m/2)

Окружность 2 (В; r 1)

Окружность 1 Окружность 2 =

MN ; MN AB =0, (МN = L)

где MN AB, O – середина AB

III. Доказательство (слайд №5, 6)

1. Рассмотрим AMN и BNM:

AM = MB=BN=AN=r 2 , следовательно AM = BN , AN = BM MN – общая сторона

(Рисунок 3)

Следовательно, AMN = BNM (по 3-м сторонам),

Следовательно

1= 2 (по определению равных )

3= 4 (по определению равных )

2. MAN и NBM – равнобедренные (по определению) ->

1 = 4 и 3 = 2 (по свойству равнобедренных )

3. Из пунктов 1 и 2 -> 1 = 3 следовательно MO – биссектриса равнобедренного AMB

4. Таким образом мы доказали, что MN – серединный перпендикуляр к отрезку AB

IV. Исследование

Данная задача имеет единственное решение, т.к. любой отрезок имеет только одну середину, и через заданную точку можно провести единственную прямую перпендикулярную данной.

Определение: Геометрическое множество точек (ГМТ) - это множество точек, обладающих некоторым свойством. (Приложение №2)

Известные вам ГМТ:

1. Серединный перпендикуляр к отрезку – это множество точек, равноудаленных от концов отрезка.
2. Биссектриса угла – множество точек, равноудаленных от сторон угла

Итак, докажем теорему:

Теорема: “Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка”.

(Рисунок 4)

Дано: АВ; МО – серединный перпендикуляр

Доказать: АМ = ВМ

Доказательство: 1. МО – серединный перпендикуляр (по условию) -> O – середина отрезка АВ, MOАВ 2. Рассмотрим АМО и ВМО - прямоугольные МО – общий катет

АО = ВО (О – середина АВ) -> АМО = ВМО (по 2-м катетам) ->АМ=ВМ (по определению равных треугольников, как соответствующие стороны) Что и требовалось доказать

Домашнее задание: “Доказать теорему, обратную данной”

Теорема: “Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку”.

(Рисунок 5)

Дано: АВ; МА=МВ

Доказать : Точка М лежит на серединном перпендикуляре

Доказательство:

Т.о. МО – серединный перпендикуляр, содержащий все точки, равноудаленные от концов отрезка.

Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

Они пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной окружности около треугольника, мы изучим в восьмом классе.

Практикум

Материально техническое оснащение:

Дистрибутив: 29 574 Кбайт

ОС: Windows 9x/2000/XP

Сайт: http://www.ascon.ru

Теперь перенесем построение в графическую среду компьютера (слайд №7)

Полученные ранее знания и умения необходимо применить на конкретной задаче. Вы увидите, что построение займет у вас времени не больше, чем построение в тетради. Кроме всего прочего интересно посмотреть, как компьютерная среда выполняет команды человека по построению плоскостных фигур. Перед вами приложение №3, в котором подробным образом расписаны ваши шаги построения. Загрузить программу и открыть новый чертеж (слайд №8 , 9).

Начертить геометрические объекты, заданные в условии задачи: луч а с началом в точке А и отрезок равный m – произвольной длины (слайд №10 ).

Ввести обозначение луча, отрезка, начала луча на чертеже с помощью вкладки "Инструменты " текст.

Построить окружность радиусом равным отрезку m с центром в вершине заданной точкой А (слайд №11 ).

m с центром в вершине заданной точкой А (слайд №12, 13 ).

Построить окружность радиусом равным отрезку больше 1/2 m для этого выбрать в контекстном меню ПКМ пункт “Между 2 точками” (слайд №14, 15, 16 ).

Через точки пересечения окружностей M и N провести прямую (слайд №17,18 ).

Используемая литература:

1. Угринович Н.Д “Информатика. Базовый курс” 7 класс. - М.: БИНОМ – 2008 – 175 с.
2. Угринович Н.Д “Практикум по информатике и информационным технологиям”. Учебное пособие. – М.: БИНОМ, 2004-2006. -
3. Угринович Н.Д “Преподавание курса “Информатика и ИКТ” в основной и старшей школе 8-11 классы М.: БИНОМ Лаборатория знаний, 2008. - 180 с.
4. Угринович Н.Д Компьютерный практикум на CD-ROM. – М.: БИНОМ, 2004-2006.
5. Богуславский А.А., Третьяк Т.М. Фарафонов А.А. “Компас – 3D v 5.11-8.0 Практикум для начинающих” – М.: СОЛОН – ПРЕСС, 2006 – 272 с.
6. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., и др “Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных школ” – М: Просвещение 2006 – 384 с.
7. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., и др “Изучение геометрии 7-9 класс. Методические рекомендации к учебнику” – М: Просвещение 1997 г. – 255 с.
8. Афанасьева Т.Л., Тапилина Л.А. “Поурочные планы по учебнику 8 класса Атанасяна Л.С.” - Волгоград “Учитель” 2010 г., 166 с.

Приложение № 1

План решения задач на построение циркулем и линейкой.

1. Анализ.
2. Построение.
3. Доказательство.
4. Исследование.

Пояснение

1. При выполнении анализа схематично чертят искомую фигуру и устанавливают связь между данными задачи и искомыми элементами.
2. По намеченному плану выполняют построение циркулем и линейкой.
3. Доказывают, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.
4. Проводят исследование: при любых ли данных задача имеет решение и если имеет, то сколько решений?

Примеры элементарных задач на построение

1. Отложить отрезок, равный данному.
2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку.
3. Построить середину отрезка.
4. Построить прямую, проходящую через данную точку, перпендикулярно заданной прямой (Точка может лежать или не лежать на заданной прямой).
5. Построить биссектрису угла.
6. Построить угол равный данному.

Приложение №2

Геометрическое место точек (ГМТ) - это множество точек, обладающих некоторым свойством.

Примеры ГМТ:

1. Серединный перпендикуляр к отрезку – это множество точек, равноудалённых от концов отрезка.
2. Окружность – это множество точек, равноудаленных от заданной точки – центра окружности.
3. Биссектриса угла – это множество точек, равноудалённых от сторон угла.

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

В треугольнике есть так называемые четыре замечательные точки: точка пересечения медиан. Точка пересечения биссектрис, точка пересечения высот и точка пересечения серединных перпендикуляров. Рассмотрим каждую из них.

Точка пересечения медиан треугольника

Теорема 1

О пересечении медиан треуголника : Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении $2:1$ начиная с вершины.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ его медианы. Так как медианы делят стороны пополам. Рассмотрим среднюю линию $A_1B_1$ (Рис. 1).

Рисунок 1. Медианы треугольника

По теореме 1, $AB||A_1B_1$ и $AB=2A_1B_1$, следовательно, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Значит треугольники $ABM$ и $A_1B_1M$ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда

Аналогично доказывается, что

Теорема доказана.

Точка пересечения биссектрис треугольника

Теорема 2

О пересечении биссектрис треугольника : Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где $AM,\ BP,\ CK$ его биссектрисы. Пусть точка $O$ - точка пересечения биссектрис $AM\ и\ BP$. Проведем из этой точки перпендикуляры к сторонам треугольника (рис. 2).

Рисунок 2. Биссектрисы треугольника

Теорема 3

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

По теореме 3, имеем: $OX=OZ,\ OX=OY$. Следовательно, $OY=OZ$. Значит точка $O$ равноудалена от сторон угла $ACB$ и, значит, лежит на его биссектрисе $CK$.

Теорема доказана.

Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника

Теорема 4

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Пусть дан треугольник $ABC$, $n,\ m,\ p$ его серединные перпендикуляры. Пусть точка $O$ - точка пересечения серединных перпендикуляров $n\ и\ m$ (рис. 3).

Рисунок 3. Серединные перпендикуляры треугольника

Для доказательства нам потребуется следующая теорема.

Теорема 5

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов данного отрезка.

По теореме 3, имеем: $OB=OC,\ OB=OA$. Следовательно, $OA=OC$. Значит точка $O$ равноудалена от концов отрезка $AC$ и, значит, лежит на его серединном перпендикуляре $p$.

Теорема доказана.

Точка пересечения высот треугольника

Теорема 6

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ его высоты. Проведем через каждую вершину треугольника прямую, параллельную противоположной вершине стороне. Получаем новый треугольник $A_2B_2C_2$ (рис. 4).

Рисунок 4. Высоты треугольника

Так как $AC_2BC$ и $B_2ABC$ параллелограммы с общей стороной, то $AC_2=AB_2$, то есть точка $A$ -- середина стороны $C_2B_2$. Аналогично, получаем, что точка $B$ -- середина стороны $C_2A_2$, а точка $C$ -- середина стороны $A_2B_2$. Из построения мы имеем, что ${CC}_1\bot A_2B_2,\ {BB}_1\bot A_2C_2,\ {AA}_1\bot C_2B_2$. Следовательно, ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ -- серединные перпендикуляры треугольника $A_2B_2C_2$. Тогда, по теореме 4, имеем, что высоты ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ пересекаются в одной точке.