§ 1.7. Механические волны

Распространяющиеся в пространстве колебания вещества или поля называются волной. Колебания вещества порождают упругие волны (частный случай – звук).

Механическая волна – это распространение колебаний частиц среды с течением времени.

Волны в сплошной среде распространяются вследствие взаимодействия между частицами. Если какая-либо частица приходит в колебательное движение, то, вследствие упругой связи, это движение передается соседним частицам, и волна распространяется. При этом сами колеблющиеся частицы не перемещаются вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия .

Продольные волны – это такие волны, в которых направление колебаний частиц x совпадает с направлением распространения волны . Продольные волны распространяются в газах, жидкостях и твердых телах.

П
оперечные волны – это такие волны, в которых направление колебаний частиц перпендикулярно направлению распространения волны . Поперечные волны распространяются только в твердых средах.

Волны обладают двоякой периодичностью – во времени и в пространстве . Периодичность во времени означает, что каждая частица среды колеблется около своего положения равновесия, и это движение повторяется с периодом колебаний T. Периодичность в пространстве означает, что колебательное движение частиц среды повторяется через определенные расстояния между ними.

Периодичность волнового процесса в пространстве характеризует величина, называемая длиной волны и обозначаемая .

Длина волны - это расстояние, на которое распространяется волна в среде за время одного периода колебаний частицы .

Отсюда
, где- период колебаний частиц,- частота колебаний,- скорость распространения волны, зависящая от свойств среды.

Как записать уравнение волны? Пусть кусочек шнура расположенный в точке О (источник волны) совершает колебания, происходящие по закону косинуса

Пусть точка некоторая В находится на расстоянии х от источника (точки О). для того чтобы волна, распространяющаяся со скоростью v, дошла до нее требуется время
. Это означает, что в точке В колебания начнутся позже на
. То есть. После подстановки в это уравнение выражения для
и ряда математических преобразований, получим

,
. Введем обозначение:
. Тогда. В силу произвольности выбора точки В это уравнение и будет искомым уравнением плоской волны
.

Выражение, стоящее под знаком косинуса называется фазой волны
.

Если две точки находятся на различных расстояниях от источника волны, то фазы их будут различны. Например, фазы точек В и С, находящихся на расстоянияхиот источника волны, будут соответственно равны

Разность фаз колебаний, происходящих в точке В и в точке С обозначим
и она будет равна

В таких случаях говорят, что между колебаниями, происходящими в точках В и С имеется сдвиг по фазе Δφ. Говорят, что колебания в точках В и С происходят в фазе, если
. Если
, то колебания в точках В и С происходят в противофазе. Во всех остальных случаях – просто имеется сдвиг по фазе.

Понятие «длина волны» можно определить и иначе:

Поэтому k называют волновым числом.

Мы ввели обозначение
и показали, что
. Тогда

.

Длина волны – это путь, проходимый волной за один период колебания.

Определим два важных в волновой теории понятия.

Волновая поверхность – это геометрическое место точек среды, колеблющихся в одинаковой фазе. Волновую поверхность можно провести через любую точку среды, следовательно, их бесконечно много.

Волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае они представляют собой совокупность плоскостей (если источник волн – бесконечная плоскость), параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер (если источник волн точечный).

Фронт волны (волновой фронт) – геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени . Фронт волны отделяет часть пространства, вовлеченную в волновой процесс, от области, где колебания еще не возникли. Следовательно, волновой фронт – это одна из волновых поверхностей. Он разделяет две области: 1 – до которой дошла волна к моменту времениt, 2 – не дошла.

Волновой фронт в каждый момент времени только один, и он все время перемещается, тогда как волновые поверхности остаются неподвижными (они проходят через положения равновесия частиц, колеблющихся в одинаковой фазе).

Плоская волна – это такая волна, у которой волновые поверхности (и фронт волны) являются параллельными плоскостями.

Сферическая волна – это такая волна, у которой волновые поверхности являются концентрическими сферами. Уравнение сферической волны:
.

Каждая точка среды, до которой дошли две или более волн, будет принимать участие в колебаниях, вызванных каждой волной в отдельности. А каким будет результирующее колебание? Это зависит от ряда факторов, в частности от свойств среды. Если свойства среды не изменяются из-за процесса распространения волн, то среда называется линейной. Опыт показывает, что в линейной среде волны распространяются независимо друг от друга. Мы будем рассматривать волны только в линейных средах. А каким будет колебание точки, до которой дошли две волны одновременно? Для ответа на этот вопрос необходимо понять как найти амплитуду и фазу колебания, вызванного этим двойным воздействием. Для определения амплитуды и фазы результирующего колебания необходимо найти смещения, вызванные каждой волной, а затем их сложить. Как? Геометрически!

Принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Важным понятием волновой теории является понятие когерентность – согласованное протекание во времени и в пространстве нескольких колебательных или волновых процессов . Если разность фаз волн, приходящих в точку наблюдения не зависит от времени, то такие волны называются когерентными . Очевидно, что когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту.

Рассмотрим, каким будет результат сложения двух когерентных волн, приходящих в некоторую точку пространства (точку наблюдения) В. Для того, чтобы упростить математические расчеты будем считать, что волны, которые излучаются источникамиS 1 и S 2 имеют одинаковую амплитуду и начальные фазы равные нулю. В точке наблюдения (в точке В) волны, приходящие от источников S 1 и S 2 будут вызывать колебания частиц среды:
и
. Результирующее колебание в точке В найдем как сумму.

Обычно амплитуду и фазу результирующего колебания, возникающего в точке наблюдения, находят с помощью метода векторных диаграмм, представляя каждое колебание в виде вектора, вращающегося с угловой скоростью ω. Длина вектора равна амплитуде колебания. Первоначально этот вектор образует с выбранным направлением угол равный начальной фазе колебаний. Тогда амплитуда результирующего колебания определяется по формуле.

Для нашего случая сложения двух колебаний с амплитудами
,
и фазами
,

.

Следовательно, амплитуда колебаний, возникающих в точке В, зависит от того, какова разность путей
, проходимых каждой волной в отдельности от источника до точки наблюдения (
– разность хода волн, приходящих в точку наблюдения). Интерференционные минимумы или максимумы могут наблюдаться в тех точках, для которых
. А это уравнение гиперболы с фокусами в точкахS 1 и S 2 .

В тех точках пространства, для которых
, амплитуда возникающих колебаний будет максимальна и равна
. Так как
, то амплитуда колебаний будет максимальна в тех точках, для которых.

в тех точках пространства, для которых
, амплитуда возникающих колебаний будет минимальна и равна
.амплитуда колебаний будет минимальна в тех точках, для которых .

Явление перераспределения энергии, возникающее в результате сложения конечного числа когерентных волн, называется интерференцией.

Явление огибания волнами препятствий называется дифракцией.

Иногда дифракцией называют любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики (если размеры препятствий соизмеримы с длиной волны).

Б
лагодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через небольшие отверстия в экранах и т.д. Как объяснить попадание волн в область геометрической тени? Объяснить явление дифракции можно с помощью принципа Гюйгенса: каждая точка, до которой доходит волна, является источником вторичных волн (в однородной среде сферических), а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени.

Вставка из интерференции света посмотреть что может пригодиться

Волной называется процесс распространения колебаний в пространстве.

Волновая поверхность - это геометрическое место точек, в которых колебания совершаются в одинаковой фазе.

Фронтом волны называется геометрическое место точек, до которых волна доходит к определенному моменту времени t . Фронт волны отделяет часть пространства, вовлеченную в волновой процесс, от той области, где колебания еще не возникли.

Для точечного источника фронт волны представляет собой сферическую поверхность с центром в точке расположения источника S. 1, 2, 3 - волновые поверхности; 1 - фронт волны. Уравнение сферической волны, распространяющейся вдоль луча, исходящего от источника: . Здесь - скорость распространения волны,- длина волны;А - амплитуда колебаний; - круговая (циклическая) частота колебаний;- смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянииr от точечного источника, в момент времени t.

Плоская волна - это волна с плоским волновым фронтом. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси y :
, где x - смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии y от источника, в момент времени t.

Волна – процесс распространения колебаний в упругой среде.

Механическая волна – механические возмущения, распространяющиеся в пространстве и несущие энергию.

Виды волн :

продольные – частицы среды совершают колебания по направлению распространения волны – во всех упругих средах;

x

направление колебаний

точек среды

поперечные – частицы среды совершают колебания перпендикулярно направлению распространения волны – на поверхности жидкости.

X

Виды механических волн:

упругие волны – распространение упругих деформаций;

волны на поверхности жидкости.

Характеристики волн:

Пусть А колеблется по закону:
.

Тогда В колеблется с запаздыванием на угол
, где
, т.е.

Энергия волны.

- полная энергия одной частицы. Если частицN, то, где- эпсилон,V– объём.

Эпсилон – энергия в единице объёма волны – объёмная плотность энергии.

Поток энергии волн равен отношению энергии, переносимой волнами через некоторую поверхность, к времени, в течение которого этот перенос осуществлён:
, ватт; 1 ватт = 1Дж/с.

Плотность потока энергии – интенсивность волны – поток энергии через единицу площади - величина, равная средней энергии, переносимой волной в единицу времени за единицу площади поперечного сечения.

[Вт/м 2 ]

.

Вектор Умова – векторI, показывающий направление распространения волн и равный потоку энергии волн, проходящему через единичную площадь, перпендикулярную этому направлению:

.

Физические характеристики волны :

Колебательные:

1. амплитуда

Волновые:

1. длина волны

   скорость волны

   интенсивность

Сложные колебания (релаксационные) – отличающиеся от синусоидальных.

Преобразование Фурье – любую сложную периодическую функцию можно представить суммой нескольких простых (гармонических) функций, периоды которых кратны периоду сложной функции – это гармонический анализ. Происходит в анализаторах. Итог – гармонический спектр сложного колебания:

А

0

Звук – колебания и волны, которые действуют на ухо человека и вызывают слуховое ощущение.

Звуковые колебания и волны – частный случай механических колебаний и волн. Виды звуков :

Тоны – звук, являющийся периодическим процессом:

1. простой – гармонический - камертон

   сложный – ангармонический – речь, музыка

Сложный тон может быть разложен на простые. Наименьшая частота такого разложения – основной тон, остальные гармоники (обертоны) – имеют частоты, равные 2и другие. Набор частот с указанием их относительной интенсивности – акустический спектр.

Шум – звук со сложной неповторяющейся временной зависимостью (шорох, скрип, аплодисменты). Спектр – сплошной.

Физические характеристики звука :

Характеристики слухового ощущения :

Высота – определяется частотой звуковой волны. Чем больше частота, тем выше тон. Звук большей интенсивности – более низкий.

Тембр – определяется акустическим спектром. Чем больше тонов, тем богаче спектр.

Громкость – характеризует уровень слухового ощущения. Зависит от интенсивности звука и частоты. Психофизическийзакон Вебера-Фехнера : если увеличивать раздражение в геометрической прогрессии (в одинаковое число раз), то ощущение этого раздражения возрастёт в арифметической прогрессии (на одинаковую величину).

, где Е – громкость (измеряется в фонах);
- уровень интенсивности (измеряется в белах). 1 бел – изменение уровня интенсивности, которое соответствует изменению интенсивности звука в 10 раз.K– коэффициент пропорциональности, зависит от частоты и интенсивности.

Зависимость между громкостью и интенсивностью звука – кривые равной громкости , построенные на экспериментальных данных (создают звук частотой 1 кГц, меняют интенсивность, пока не возникнет слуховое ощущение, аналогичное ощущению громкости исследуемого звука). Зная интенсивность и частоту можно найти фон.

Аудиометрия – метод измерения остроты слуха. Прибор – аудиометр. Полученная кривая – аудиограмма. Определяется и сравнивается порог слухового ощущения на разных частотах.

Шумометр – измерение уровня шума.

В клинике : аускультация – стетоскоп/фонендоскоп. Фонендоскоп – полая капсула с мембраной и резиновыми трубками.

Фонокардиография – графическая регистрация фонов и шумов сердца.

Перкуссия.

Ультразвук – механические колебания и волны с частотой выше 20кГц до 20 МГц. УЗ-излучатели – электромеханические излучатели, основанные на пьезоэлектрическом эффекте (переменный ток к электродам, между которыми - кварц).

Длина волны УЗ меньше длины волны звука: 1,4 м – звук в воде (1 кГц), 1,4 мм – ультразвук в воде (1 МГц). УЗ хорошо отражается на границе кость-надкостница – мышца. УЗ в тело человека не проникнет, если не смазать маслом (воздушный слой). Скорость распространения УЗ зависит от среды. Физические процессы: микровибрации, разрушение биомакромолекул, перестройка и повреждение биологических мембран, тепловое действие, разрушение клеток и микроорганизмов, кавитация. В клинике: диагностика (энцефалограф, кардиограф, УЗИ), физиотерапия (800 кГц), ультразвуковой скальпель, фармацевтическая промышленность, остеосинтез, стерилизация.

Инфразвук – волны с частотой меньше 20 Гц. Неблагоприятное действие – резонанс в организме.

Вибрации . Полезное и вредное действие. Массаж. Вибрационная болезнь.

Эффект Доплера – изменение частоты волн, воспринимаемых наблюдателем (приёмником волн), вследствие относительного движения источника волн и наблюдателя.

1 случай: Н приближается к И.

2 случай: И приближается к Н.

3 случай: приближение и отдаление И и Н друг от друга:

Система: генератор УЗ – приёмник – неподвижна относительно среды. Движется объект. Он принимает УЗ с частотой
, отражает её, посылая на приёмник, который получает УЗ волну с частотой
. Разница частот –доплеровский сдвиг частоты :
. Используется для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов.

Механические волны

Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной .

Механические волны бывают разных видов. Если в волне частицы среды испытывают смещение в направлении, перпендикулярном направлению распространения, то волна называется поперечной . Примером волны такого рода могут служить волны, бегущие по натянутому резиновому жгуту (рис. 2.6.1) или по струне.

Если смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны, то волна называется продольной . Волны в упругом стержне (рис. 2.6.2) или звуковые волны в газе являются примерами таких волн.

Волны на поверхности жидкости имеют как поперечную, так и продольную компоненты.

Как в поперечных, так и в продольных волнах переноса вещества в направлении распространения волны не происходит. В процессе распространения частицы среды лишь совершают колебания около положений равновесия. Однако волны переносят энергию колебаний от одной точки среды к другой.

Характерной особенностью механических волн является то, что они распространяются в материальных средах (твердых, жидких или газообразных). Существуют волны, которые способны распространяться и в пустоте (например, световые волны). Для механических волн обязательно нужна среда, обладающая способностью запасать кинетическую и потенциальную энергию. Следовательно, среда должна обладать инертными и упругими свойствами . В реальных средах эти свойства распределены по всему объему. Так, например, любой малый элемент твердого тела обладает массой и упругостью. В простейшей одномерной модели твердое тело можно представить как совокупность шариков и пружинок (рис. 2.6.3).

Продольные механические волны могут распространяться в любых средах – твердых, жидких и газообразных.

Если в одномерной модели твердого тела один или несколько шариков сместить в направлении, перпендикулярном цепочке, то возникнет деформация сдвига . Деформированные при таком смещении пружины будут стремиться возвратить смещенные частицы в положение равновесия. При этом на ближайшие несмещенные частицы будут действовать упругие силы, стремящиеся отклонить их от положения равновесия. В результате вдоль цепочки побежит поперечная волна.

В жидкостях и газах упругая деформация сдвига не возникает. Если один слой жидкости или газа сместить на некоторое расстояние относительно соседнего слоя, то никаких касательных сил на границе между слоями не появится. Силы, действующие на границе жидкости и твердого тела, а также силы между соседними слоями жидкости всегда направлены по нормали к границе – это силы давления. То же относится к газообразной среде. Следовательно, поперечные волны не могут существовать в жидкой или газообразной средах .

Значительный интерес для практики представляют простые гармонические или синусоидальные волны . Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой f идлиной волны λ. Синусоидальные волны распространяются в однородных средах с некоторой постоянной скоростью υ.

Смещение y (x , t ) частиц среды из положения равновесия в синусоидальной волне зависит от координаты x на оси OX , вдоль которой распространяется волна, и от времени t по закону.

1. Механические волны, частота волны. Продольные и поперечные волны.

2. Волновой фронт. Скорость и длина волны.

3. Уравнение плоской волны.

4. Энергетические характеристики волны.

5. Некоторые специальные разновидности волн.

6. Эффект Доплера и его использование в медицине.

7. Анизотропия при распространении поверхностных волн. Действие ударных волн на биологические ткани.

8. Основные понятия и формулы.

9. Задачи.

2.1. Механические волны, частота волны. Продольные и поперечные волны

Если в каком-либо месте упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание начнет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью v.

Например, если в жидкую или газообразную среду поместить колеблющееся тело, то колебательное движение тела будет передаваться прилегающим к нему частицам среды. Они, в свою очередь, вовлекают в колебательное движение соседние частицы и так далее. При этом все точки среды совершают колебания с одинаковой частотой, равной частоте колебания тела. Эта частота называется частотой волны.

Волной называется процесс распространения механических колебаний в упругой среде.

Частотой волны называется частота колебаний точек среды, в которой распространяется волна.

С волной связан перенос энергии колебаний от источника колебаний к периферийным участкам среды. При этом в среде возникают

периодические деформации, которые переносятся волной из одной точки среды в другую. Сами частицы среды не перемещаются вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Поэтому распространение волны не сопровождается переносом вещества.

В соответствии с частотой механические волны делятся на различные диапазоны, которые указаны в табл. 2.1.

Таблица 2.1. Шкала механических волн

В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению распространения волны, различают продольные и поперечные волны.

Продольные волны - волны, при распространении которых частицы среды колеблются вдоль той же прямой, по которой распространяется волна. При этом в среде чередуются области сжатия и разряжения.

Продольные механические волны могут возникать во всех средах (твердых, жидких и газообразных).

Поперечные волны - волны, при распространении которых частицы колеблются перпендикулярно направлению распространения волны. При этом в среде возникают периодические деформации сдвига.

В жидкостях и газах упругие силы возникают только при сжатии и не возникают при сдвиге, поэтому поперечные волны в этих средах не образуются. Исключение составляют волны на поверхности жидкости.

2.2. Волновой фронт. Скорость и длина волны

В природе не существует процессов, распространяющихся с бесконечно большой скоростью, поэтому возмущение, созданное внешним воздействием в одной точке среды, достигнет другой точки не мгновенно, а спустя некоторое время. При этом среда делится на две области: область, точки которой уже вовлечены в колебательное движение, и область, точки которой еще находятся в равновесии. Поверхность, разделяющая эти области, называется фронтом волны.

Фронт волны - геометрическое место точек, до которых к данному моменту дошло колебание (возмущение среды).

При распространении волны ее фронт перемещается, двигаясь с некоторой скоростью, которую называют скоростью волны.

Скоростью волны (v) называется скорость перемещения ее фронта.

Скорость волны зависит от свойств среды и типа волны: поперечные и продольные волны в твердом теле распространяются с различными скоростями.

Скорость распространения всех типов волн определяется при условии слабого затухания волны следующим выражением:

где G - эффективный модуль упругости, ρ - плотность среды.

Скорость волны в среде не следует путать со скоростью движения частиц среды, вовлеченных в волновой процесс. Например, при распространении звуковой волны в воздухе средняя скорость колебаний его молекул порядка 10 см/с, а скорость звуковой волны при нормальных условиях около 330 м/с.

Форма волнового фронта определяет геометрический тип волны. Простейшие типы волн по этому признаку - плоские и сферические.

Плоской называется волна, у которой фронтом является плоскость, перпендикулярная направлению распространения.

Плоские волны возникают, например, в закрытом поршнем цилиндре с газом, когда поршень совершает колебания.

Амплитуда плоской волны остается практически неизменной. Ее слабое уменьшение по мере удаления от источника волны связано с вязкостью жидкой или газообразной среды.

Сферической называется волна, у которой фронт имеет форму сферы.

Такой, например, является волна, вызываемая в жидкой или газообразной среде пульсирующим сферическим источником.

Амплитуда сферической волны при удалении от источника убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.

Для описания ряда волновых явлений, например интерференции и дифракции, используют специальную характеристику, называемую длиной волны.

Длиной волны называется расстояние, на которое перемещается ее фронт за время, равное периоду колебаний частиц среды:

Здесь v - скорость волны, Т - период колебаний, ν - частота колебаний точек среды, ω - циклическая частота.

Так как скорость распространения волны зависит от свойств среды, то длина волны λ при переходе из одной среды в другую изменяется, в то время как частота ν остается прежней.

Данное определение длины волны имеет важную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим рис. 2.1 а, на котором показаны смещения точек среды в некоторый момент времени. Положение фронта волны отмечено точками А и В.

Через время Т, равное одному периоду колебаний, фронт волны переместится. Его положения показаны на рис. 2.1, б точками А 1 и В 1 . Из рисунка видно, что длина волны λ равна расстоянию между соседними точками, колеблющимися в одинаковой фазе, например расстоянию между двумя соседними максимумами или минимумами возмущения.

Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация длины волны

2.3. Уравнение плоской волны

Волна возникает в результате периодических внешних воздействий на среду. Рассмотрим распространение плоской волны, созданной гармоническими колебаниями источника:

где х и - смещение источника, А - амплитуда колебаний, ω - круговая частота колебаний.

Если некоторая точка среды удалена от источника на расстояние s, а скорость волны равна v, то возмущение, созданное источником, достигнет этой точки через время τ = s/v. Поэтому фаза колебаний в рассматриваемой точке в момент времени t будет такой же, как фаза колебаний источника в момент времени (t - s/v), а амплитуда колебаний останется практически неизменной. В результате колебания данной точки будут определяться уравнением

Здесь мы использовали формулы для круговой частоты (ω = 2π/Т) и длины волны (λ = v T).

Подставив это выражение в исходную формулу, получим

Уравнение (2.2), определяющее смещение любой точки среды в любой момент времени, называется уравнением плоской волны. Аргумент при косинусе - величина φ = ωt - 2π s/λ - называется фазой волны.

2.4. Энергетические характеристики волны

Среда, в которой распространяется волна, обладает механической энергией, складывающейся из энергий колебательного движения всех ее частиц. Энергия одной частицы с массой m 0 находится по формуле (1.21): Е 0 = m 0 Α 2 ω 2 /2. В единице объема среды содержится n = p /m 0 частиц (ρ - плотность среды). Поэтому единица объема среды обладает энергией w р = nЕ 0 = ρ Α 2 ω 2 /2.

Объемная плотность энергии (\¥ р) - энергия колебательного движения частиц среды, содержащихся в единице ее объема:

где ρ - плотность среды, А - амплитуда колебаний частиц, ω - частота волны.

При распространении волны энергия, сообщаемая источником, переносится в удаленные области.

Для количественного описания переноса энергии вводят следующие величины.

Поток энергии (Ф) - величина, равная энергии, переносимой волной через данную поверхность за единицу времени:

Интенсивность волны или плотность потока энергии (I) - величина, равная потоку энергии, переносимой волной через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны:

Можно показать, что интенсивность волны равна произведению скорости ее распространения на объемную плотность энергии

2.5. Некоторые специальные разновидности

волн

1. Ударные волны. При распространении звуковых волн скорость колебания частиц не превышает нескольких см/с, т.е. она в сотни раз меньше скорости волны. При сильных возмущениях (взрыв, движение тел со сверхзвуковой скоростью, мощный электрических разряд) скорость колеблющихся частиц среды может стать сравнимой со скоростью звука. При этом возникает эффект, называемый ударной волной.

При взрыве нагретые до высоких температур продукты, обладающие большой плотностью, расширяются и сжимают тонкий слой окружающего воздуха.

Ударная волна - распространяющаяся со сверхзвуковой скоростью тонкая переходная область, в которой происходит скачкообразное возрастание давления, плотности и скорости движения вещества.

Ударная волна может обладать значительной энергией. Так, при ядерном взрыве на образование ударной волны в окружающей среде затрачивается около 50 % всей энергии взрыва. Ударная волна, достигая объектов, способна вызвать разрушения.

2. Поверхностные волны. Наряду с объемными волнами в сплошных средах при наличии протяженных границ могут существовать волны, локализованные вблизи границ, которые играют роль волноводов. Таковы, в частности, поверхностные волны в жидкости и упругой среде, открытые английским физиком В. Стреттом (лордом Релеем) в 90-х годах 19 века. В идеальном случае волны Релея распространяются вдоль границы полупространства, экспоненциально затухая в поперечном направлении. В результате поверхностные волны локализуют энергию возмущений, созданных на поверхности, в сравнительно узком приповерхностном слое.

Поверхностные волны - волны, которые распространяются вдоль свободной поверхности тела или вдоль границы тела с другими средами и быстро затухают при удалении от границы.

Примером таких волн могут служить волны в земной коре (сейсмические волны). Глубина проникновения поверхностных волн составляет несколько длин волн. На глубине, равной длине волны λ, объемная плотность энергии волны составляет приблизительно 0,05 ее объемной плотности на поверхности. Амплитуда смещения быстро убывает при удалении от поверхности и на глубине нескольких длин волн практически исчезает.

3. Волны возбуждения в активных средах.

Активно возбудимая, или активная, среда - непрерывная среда, состоящая из большого числа элементов, каждый из которых обладает запасом энергии.

При этом каждый элемент может находиться в одном из трех состояний: 1 - возбуждение, 2 - рефрактерность (невозбудимость в течение определенного времени после возбуждения), 3 - покой. В возбуждение могут перейти элементы только из состояния покоя. Волны возбуждения в активных средах называют автоволнами. Автоволны - это самоподдерживающиеся волны в активной среде, сохраняющие свои характеристики постоянными за счет распределенных в среде источников энергии.

Характеристики автоволны - период, длина волны, скорость распространения, амплитуда и форма - в установившемся режиме зависят только от локальных свойств среды и не зависят от начальных условий. В табл. 2.2 представлено сходство и различие автоволн и обычных механических волн.

Автоволны можно сопоставить с распространением пожара в степи. Пламя распространяется по области с распределенными запасами энергии (по сухой траве). Каждый последующий элемент (сухая травинка) зажигается от предыдущего. И таким образом распространяется фронт волны возбуждения (пламя) по активной среде (сухой траве). При встрече двух очагов пожара пламя исчезает, так как исчерпаны запасы энергии - вся трава выгорела.

Описание процессов распространения автоволн в активных средах используется при изучении распространения потенциалов действия по нервным и мышечным волокнам.

Таблица 2.2. Сравнение автоволн и обычных механических волн

2.6. Эффект Доплера и его использование в медицине

Христиан Доплер (1803-1853) - австрийский физик, математик, астроном, директор первого в мире физического института.

Эффект Доплера состоит в изменении частоты колебаний, воспринимаемой наблюдателем, вследствие относительного движения источника колебаний и наблюдателя.

Эффект наблюдается в акустике и оптике.

Получим формулу, описывающую эффект Доплера, для случая, когда источник и приемник волны движутся относительно среды вдоль одной прямой со скоростями v И и v П соответственно. Источник совершает гармонические колебания с частотой ν 0 относительно своего равновесного положения. Волна, созданная этими колебаниями, распространяется в среде со скоростью v. Выясним, какую частоту колебаний зафиксирует в этом случае приемник.

Возмущения, создаваемые колебаниями источника, распространяются в среде и достигают приемника. Рассмотрим одно полное колебание источника, которое начинается в момент времени t 1 = 0

и заканчивается в момент t 2 = T 0 (T 0 - период колебаний источника). Возмущения среды, созданные в эти моменты времени, достигают приемника в моменты t" 1 и t" 2 соответственно. При этом приемник фиксирует колебания с периодом и частотой:

Найдем моменты t" 1 и t" 2 для случая, когда источник и приемник движутся навстречу друг другу, а начальное расстояние между ними равно S. В момент t 2 = T 0 это расстояние станет равным S - (v И + v П)T 0 , (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Взаимное расположение источника и приемника в моменты t 1 и t 2

Эта формула справедлива для случая, когда скорости v и и v п направлены навстречу друг другу. В общем случае при движении

источника и приемника вдоль одной прямой формула для эффекта Доплера принимает вид

Для источника скорость v И берется со знаком «+», если он движется в направлении приемника, и со знаком «-» в противном случае. Для приемника - аналогично (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Выбор знаков для скоростей источника и приемника волн

Рассмотрим один частный случай использования эффекта Доплера в медицине. Пусть генератор ультразвука совмещен с приемником в виде некоторой технической системы, которая неподвижна относительно среды. Генератор излучает ультразвук, имеющий частоту ν 0 , который распространяется в среде со скоростью v. Навстречу системе со скоростью v т движется некоторое тело. Сначала система выполняет роль источника (v И = 0), а тело - роль приемника (v Tl = v Т). Затем волна отражается от объекта и фиксируется неподвижным приемным устройством. В этом случае v И = v Т, а v п = 0.

Применив формулу (2.7) дважды, получим формулу для частоты, фиксируемой системой после отражения испущенного сигнала:

При приближении объекта к датчику частота отраженного сигнала увеличивается, а при удалении - уменьшается.

Измерив доплеровский сдвиг частоты, из формулы (2.8) можно найти скорость движения отражающего тела:

Знак «+» соответствует движению тела навстречу излучателю.

Эффект Доплера используется для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (доплеровская эхокардиография) и других органов. Схема соответствующей установки для измерения скорости крови показана на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Схема установки для измерения скорости крови: 1 - источник ультразвука, 2 - приемник ультразвука

Установка состоит из двух пьезокристаллов, один из которых служит для генерации ультразвуковых колебаний (обратный пьезоэффект), а второй - для приема ультразвука (прямой пьезоэффект), рассеянного кровью.

Пример . Определить скорость кровотока в артерии, если при встречном отражении ультразвука (ν 0 = 100 кГц = 100 000 Гц, v = 1500 м/с) от эритроцитов возникает доплеровский сдвиг частоты ν Д = 40 Гц.

Решение. По формуле (2.9) найдем:

v 0 = v Д v /2v 0 = 40x 1500/(2x 100 000) = 0,3 м/с.

2.7. Анизотропия при распространении поверхностных волн. Действие ударных волн на биологические ткани

1. Анизотропия распространения поверхностных волн. При исследовании механических свойств кожи с помощью поверхностных волн на частоте 5-6 кГц (не путать с УЗ) проявляется акустическая анизотропия кожи. Это выражается в том, что скорости распространения поверхностной волны во взаимно перпендикулярных направлениях - вдоль вертикальной (Y) и горизонтальной (Х) осей тела - различаются.

Для количественной оценки степени выраженности акустической анизотропии используется коэффициент механической анизотропии, который вычисляется по формуле:

где v у - скорость вдоль вертикальной оси, v x - вдоль горизонтальной оси.

Коэффициент анизотропии принимается за положительный (К+), если v y > v x при v y < v x коэффициент принимается за отрицательный (К -). Численные значения скорости поверхностных волн в коже и степени выраженности анизотропии являются объективными критериями для оценки различных воздействий, в том числе и на кожу.

2. Действие ударных волн на биологические ткани. Во многих случаях воздействия на биологические ткани (органы) необходимо учитывать возникающие при этом ударные волны.

Так, например, ударная волна возникает при ударе тупым предметом по голове. Поэтому при проектировании защитных касок заботятся о том, чтобы погасить ударную волну и предохранить затылок при лобовом ударе. Этой цели и служит внутренняя лента в каске, которая на первый взгляд кажется необходимой лишь для вентиляции.

Ударные волны возникают в тканях при воздействии на них высокоинтенсивного лазерного излучения. Часто после этого в коже начинают развиваться рубцовые (или иные) изменения. Это, например, имеет место в косметологических процедурах. Поэтому, для того чтобы снизить вредное воздействие ударных волн, необходимо заранее рассчитывать дозирование воздействия с учетом физических свойств как излучения, так и самой кожи.

Рис. 2.5. Распространение радиальных ударных волн

Ударные волны используются в радиальной ударно-волновой терапии. На рис. 2.5 показано распространение радиальных ударных волн от аппликатора.

Такие волны создаются в приборах, снабженных специальным компрессором. Радиальная ударная волна генерируется пневматическим методом. Поршень, находящийся в манипуляторе, двигается с большой скоростью под воздействием управляемого импульса сжатого воздуха. Когда поршень ударяет по аппликатору, установленному в манипуляторе, его кинетическая энергия превращается в механическую энергию области тела, на которую оказывалось воздействие. При этом для снижения потерь при передаче волн в воздушной прослойке, находящейся между аппликатором и кожей, и для обеспечения хорошей проводимости ударных волн используется контактный гель. Обычный режим работы: частота 6-10 Гц, рабочее давление 250 кПа, число импульсов за сеанс - до 2000.

1. На корабле включают сирену, подающую сигналы в тумане, и спустя t = 6,6 с слышно эхо. Как далеко находится отражающая поверхность? Скорость звука в воздухе v = 330 м/с.

Решение

За время t звук проходит путь 2S: 2S = vt →S = vt/2 = 1090 м. Ответ: S = 1090 м.

2. Каков минимальный размер предметов, положение которых могут определить летучие мыши с помощью своего сенсора, имеющего частоту 100 000 Гц? Каков минимальный размер предметов, которые могут обнаружить дельфины с использованием частоты 100 000 Гц?

Решение

Минимальные размеры предмета равны длине волны:

λ 1 = 330 м/с / 10 5 Гц = 3,3 мм. Таков примерно размер насекомых, которыми питаются летучие мыши;

λ 2 = 1500 м/с / 10 5 Гц = 1,5 см. Дельфин может обнаружить небольшую рыбку.

Ответ: λ 1 = 3,3 мм; λ 2 = 1,5 см.

3. Сначала человек видит вспышку молнии, а через 8 с после этого слышит удар грома. На каком расстоянии от него сверкнула молния?

Решение

S = v зв t = 330x 8 = 2640 м. Ответ: 2640 м.

4. Две звуковые волны имеют одинаковые характеристики, за исключением того, что длина волны одной в два раза больше, чем у другой. Которая из них переносит большую энергию? Во сколько раз?

Решение

Интенсивность волны прямо пропорциональна квадрату частоты (2.6) и обратно пропорциональна квадрату длины волны (ω = 2πv/λ). Ответ: та, у которой длина волны меньше; в 4 раза.

5. Звуковая волна, имеющая частоту 262 Гц, распространяется в воздухе со скоростью 345 м/с. а) Чему равна ее длина волны? б) За какое время фаза в данной точке пространства меняется на 90°? в) Чему равна разность фаз (в градусах) между точками, отстоящими друг от друга на 6,4 см?

Решение

а) λ = v/ν = 345/262 = 1,32 м;

в) Δφ = 360°s/λ= 360x 0,064/1,32 = 17,5°. Ответ: а) λ = 1,32 м; б) t = T/4; в) Δφ = 17,5°.

6. Оценить верхнюю границу (частоту) ультразвука в воздухе, если известна скорость его распространения v = 330 м/с. Считать, что молекулы воздуха имеют размер порядка d = 10 -10 м.

Решение

В воздухе механическая волна является продольной и длина волны соответствует расстоянию между двумя ближайшими сгущениями (или разряжениями) молекул. Так как расстояние между сгущениями никак не может быть меньше размеров молекул, то заведомо предельным случаем следует считать d = λ. Из этих соображений имеем ν = v/λ = 3,3x 10 12 Гц. Ответ: ν = 3,3x 10 12 Гц.

7. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями v 1 = 20 м/с и v 2 = 10 м/с. Первая машина подает сигнал с частотой ν 0 = 800 Гц. Скорость звука v = 340 м/с. Какой частоты сигнал услышит водитель второй машины: а) до встречи машин; б) после встречи машин?

8. Когда поезд проходит мимо, Вы слышите, как частота его свистка изменяется от ν 1 = 1000 Гц (при приближении) до ν 2 = 800 Гц (когда поезд удаляется). Чему равна скорость поезда?

Решение

Эта задача отличается от предыдущих тем, что нам неизвестна скорость источника звука - поезда - и неизвестна частота его сигнала ν 0 . Поэтому получается система уравнений с двумя неизвестными:

Решение

Пусть v - скорость ветра, и он дует от человека (приемник) к источнику звука. Относительно земли они неподвижны, а относительно воздушной среды оба движутся вправо со скоростью u.

По формуле (2.7) получим частоту звука. воспринимаемую человеком. Она неизменна:

Ответ: частота не изменится.