Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Пользуясь свойством извлечения корня из степени, мы иногда можем совсем избавляться от корня. Но применять это свойство нужно с осторожностью, так как иногда его использование может быть неправомочным. Так и в жизни: если хочешь получить привилегии, то позаботься о наличии необходимых условий для этого.

Больше уроков на сайте

когда под корнем – число, возведенное в четную степень, корень можно убрать, уменьшив степень подкоренного в выражения вдвое.

Очень важны ограничения, при которых применимо это св-во. Число, возведенное в степень под корнем, должно быть неотрицательным. Почему? Потому что в правой части равенства, записанного на доске, должно быть неотрицательное число. Если тебе будут предложены буквенные выражения, содержащие знаки корней, то при их преобразовании обязательно нужно учитывать знак подкоренного выражения.

К примеру, давай определим, при каких значениях переменных имеют смысл следующие выражения:

√аb , √-аb, √а 2 b 2

• При формулировании свойств арифметического квадратного корня было в первую очередь замечено, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому можно сказать о том, что произведение аb≥ 0. Ноль в произведении может получиться, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а положительным окажется произведение чисел, имеющих одинаковые знаки. Это можно записать в виде неравенств: а ≥ 0, b ≥ 0, или а ≤ 0, b ≤ 0.
• Аналогично рассуждаем и во втором случае. –аb ≥ 0 => аb ≤ 0, произведение двух чисел положительно, если его сомножители – числа разных знаков. Это можно записать в виде неравенств: а ≥ 0, b ≤ 0, или а ≤ 0, b ≥ 0.
• а 2 b 2 ≥ 0. А это возможно при любых значениях а и b , потому что при возведении в квадрат даже отрицательного числа знак «минус» исчезнет.

Но описанное выше свойство при любых значениях а и b неприменимо все из-за тех же «минусов», которые могут появиться, когда исчезнет квадрат.

Для второй степени – квадрата — существует другая формулировка.

Ар_кв_кор из квадрата числа равен модулю этого числа.

Используем это свойство и упростим последнее выражение – квадратный корень из произведения квадратов.

√а 2 b 2 =√(аb) 2 = \аb\, и тут уже а и b – любые числа.

Теперь, опираясь на два свойства, записанные на доске, выполним несколько преобразований.

Теперь мы несколько отвлечемся от степеней и я покажу тебе один полезный способ вычисления корней, который тебе, возможно, пригодится. Для вычисления квадратных корней ты можешь использовать таблицу квадратов двузначных чисел, … но! Может случиться, что этой таблицы вовремя под рукой не окажется, или же неизвестно, можно ли извлечь корень из предложенного числа. Тут может пригодиться следующий прием. Подкоренное число нужно разложить на множители, причем такие, из которых точно уж можно извлечь корень. И тут тебе стоит вспомнить признаки делимости на 4, на 9, на 25. Сначала напомню их.

На 4 делятся те, и только те числа, две последние цифры которых записи которых образуют число, делящееся на 4.

На 9 делятся те, и только те числа, сумма цифр которых делится на 9.

На 25 делятся те, и только те числа, запись которых оканчивается цифрами 00, 25, 50, 75.

Вот способ, который поможет находить значения арифметического квадратного корня.

А еще на этом уроке подробно изучены свойства арифметического квадратного корня, позволяющие извлечь корень из степени и упомянуты свойства рациональных чисел, которые нужно учитывать при решении упражнений с корнями.

Данный урок провожу в восьмом классе, когда изучаем тему «Свойства арифметического квадратного корня» (Авторы учебника Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк). В учебнике нет сравнения свойств (Vх) 2 и V х 2 , а в дальнейшем они применяются в уравнениях и функциях и включаются в задания ЕГЭ и ГИА. Это уникальная возможность на начальном этапе исследовать эти свойства на простых уравнениях и функциях.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Солоновская средняя общеобразовательная школа имени Матренина А.П.»

Смоленского района Алтайского края

Тема урока:

« Квадратный корень из степени »

2012г.

Пояснительная записка

Формирование компетентностей учеников обусловлено реализацией не только обновленного содержания, но и адекватных методов и технологий обучения.

На данном уроке выбрала частично-поисковый, исследовательский методы и технологию развития критического мышления (Дж. Стил, К. Мередит). Потенциал этой технологии очень высокий, и реализация влияет на достижение такого результата обучения, как компетентность.

Эти методы и формы организации учебной деятельности позволили не только достигнуть освоения изучаемого на уроке учебного материала, но и обеспечивали личностную самореализацию каждого учащегося, способствуя формированию у него

• информационной компетенции , через отработку умения связать новую информацию с уже изученным материалом, умения самостоятельно осуществлять анализ и отбор необходимой информации, умения ее преобразовывать и представлять в доступном виде;
• учебно-познавательной компетенции , через развитие у учащихся мышления, логики, навыков рефлексии и самооценки, умения ставить цель, планировать, анализировать, сравнивать, делать выводы;
• коммуникативной компетенции , через развитие навыков работы в группе, умения делиться своими идеями и мнениями, умения помогать товарищам и поддерживать их, умения четко формулировать свои мысли, задавать вопросы об изучаемом объекте, выдвигать собственную версию ответа, умения защищать и отстаивать свое мнение перед другими, умения определять, чем взгляды товарищей отличаются от собственных, умения критиковать идеи, а не людей.

Выделяю основные задачи:

– создание условий для развития и самореализации учеников;

– усвоение продуктивных знаний, умений;

– развитие потребностей пополнять свои знания на протяжении всей жизни.

Данный урок провожу в восьмом классе, когда изучаем тему «Свойства арифметического квадратного корня» (Авторы учебника Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк). В учебнике нет сравнения свойств и , а в дальнейшем они применяются в уравнениях и функциях и включаются в задания ЕГЭ и ГИА. Это уникальная возможность на начальном этапе исследовать эти свойства на простых уравнениях и функциях.

Учащиеся самостоятельно устанавливают задачу урока, т. е. выдвигают проблему, затем высказывают и проверяют собственные предположения, догадки, они делают обобщения изучаемых факторов, творчески применяют знания в новых ситуациях.

По результатам данного урока школьники составили учебный проект. По мере изучения других уравнений и функций будем этот проект пополнять новыми материалами, что способствует прочному и сознательному овладению учащимися знаний и умений по данной теме и создает положительную мотивацию для подготовки к ЕГЭ. Лист самоконтроля ученика является важным для оценки его деятельности.

Мультимедиа компонент в данном уроке составляет презентация, которая при проведении актуализации знаний дает возможность оперативно предъявлять задания, дает наглядное представление рассматриваемого материала, контролировать промежуточные результаты самостоятельной работы.

Ресурс используется в ходе всего урока:

• отработка материала
• рефлексия урока

Интерактивная доска применяется для наглядного изображения проекта.

В результате, у школьников через творческие исследовательские задания формируется компетентность, т. е. те качества личности, которые нужны детям и в дальнейшей жизни.

Выбранный мной урок отвечает формуле компетентности:

Компетентность = мобильность знаний +

Гибкость метода + критичность мышления.

Подробный конспект урока.

Организационная информация
Тема урока	«Квадратный корень из степени»
Предмет	Алгебра
Класс
	Шарабарина Галина Гавриловна, учитель математики
Образовательное учреждение	МОУ «Солоновская СОШ им. Матренина А.П.»
Республика/край	Алтайский край, Смоленский район
Город/поселение	Село Солоновка
Методическая информация
Тип урока (мероприятия, занятия)	Урок закрепления и развития знаний, умений и навыков
Цели урока	 Способствовать развитию прочных навыков применения свойства квадратного корня из степени, а также выработки у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов: в чем сходство и различие изучаемых выражений.  Создать условия для развития логического мышления, памяти, внимания, навыков самостоятельной и творческой работы, математической речи, контроля и самоконтроля;  Воспитывать активность, желание работать до конца, содействовать побуждению интереса к математике.
Задачи урока (мероприятия, занятия)	Исследовать два выражения и в преобразованиях, на простых уравнениях и функциях.
Используемые педагогические технологии, методы и приемы	Методы урока: частично-поисковые, исследовательские, контроля и самоконтроля. Технология развития критического мышления. Формы учебной работы: групповая, индивидуальная.
Время реализации урока (мероприятия, занятия)	45 минут
Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/закрепят/др. ученики в ходе урока (мероприятия, занятия)	Учащиеся актуализируют знания по теме «Квадратный корень из степени», по преобразованиям выражений, содержащих квадратные корни, в решении уравнений с модулями, закрепляют различные способы доказательства равенств и приобретают навыки построения графиков функций, исследуя подкоренное выражение. Закладываются основы для дальнейшего изучения темы.
Необходимое оборудование и материалы	Компьютер, интерактивная доска, листы самооценки
Дидактическое обеспечение урока (мероприятия, занятия)	Презентация
Список учебной и дополнительной литературы	Учебник. Алгебра. 8 класс. Ю.Н. Макарычев
Ход и содержание урока (мероприятия, занятия), деятельность учителя и учеников.
Мотивация учащихся	В учебнике нет сравнения свойств и , а в дальнейшем они применяются в уравнениях и функциях и включаются в задания ГИА и ЕГЭ. Это уникальная возможность на начальном этапе исследовать эти свойства на простых уравнениях и функциях.
I. Вызов .(5 минут) Цель: учить оперировать знаниями, развивать критическое мышление. Результативность: формирование познавательной компетентности.	Ученики заранее разбиты на 3 группы (по желанию) Учитель. Чтобы узнать, чем мы будем заниматься сегодня на уроке, выполните задание и назовите свойства квадратных корней, какие вы использовали. Слайд 2 1.Выполняют задания. 2.Индивидуально, а затем в группе проверяют ответы, а потом с помощью соответствующего слайда презентации. Выявляют затруднения, формируют вопросы. Затем от каждой группы учащихся выступает свой представитель. В ходе выступлений определяется задача урока и выявляется проблема. Часто не все ученики называют свойство, которое следует из определения, если . И так проблема: даны два выражения и . В чем сходство и различие их ? Одна из групп учеников сочинила: Корень, икс, квадрат. На первый взгляд похожи, а дальше будем выяснять . Определяем тему урока. Слайд 3 Задания каждой группе в течение урока – создать мини-проект по данному материалу, можно использовать интерактивную доску.
II. Осмысление. (30 минут) Цель: учить оперировать знаниями, развивать гибкость использования знаний. Результативность: формирование познавательной самообразовательной, социальной компетентностей.	1) Выясняем, где применяются эти выражения. Слайд 4 Знакомство с листом самоконтроля, который в течение урока учащимся надо будет заполнять. Слайд15 Вопросы: Вспомним, чему равны выражения и ? Если забыли первое свойство, найдите его в учебнике. Если ; , x – любое. Затем проверяем теорию. Слайд5 2) Задание учащимся на вычисление. Слайд 6 Кто быстрее выполнит, тому задание на доске 3 Слайд 6 Взаимопроверка и проверка с помощью соответствующего слайда презентации. Каждая группа делает вывод на поставленный вопрос. В чем сходство и различие и ? (Эти выражения отличаются областью допустимых значений переменных) 3) Используя, эти выражения задайте функции и постройте их графики. Проверка. Слайд 8 Задание группам составить другие функции с этими выражениями. Построить схематично графики этих функций и записать область определения. Предложения учащихся и т. д. Дополнительно для учащихся с более высокими учебными возможностями построить следующие графики функций. Слайд 9 Затем от каждой группы учащихся выступает свой представитель. Он на интерактивной доске схематично строит графики. Исходя, из области определений этих функций учащиеся делают выводы. 4) Задание учащимся решить уравнения. Слайд 10 Выводы учеников: в первом свойстве подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а во втором – любое число. 5) Историческая справка. Это интересно. Слайд 14 (с целью предупреждения усталости) Результативность: формирование интеллектуальной компетентности. Гимнастика для глаз .(Электронные физминутки для глаз) Цель: Предупредить физическое напряжение, усталость, утомление; Способствовать усилению работоспособности во второй половине урока. а) Учитель. А сейчас перейдем к преобразованиям, которые встречаются в ГИА (во второй части). Слайд 11 Обсудите в группах это задание и докажите почему это равенство верное. Найдите два способа доказательства. Представители от групп объясняют свой способ решения. Затем проверка с помощью соответствующего слайда презентации. Аналогично доказывают следующее равенство (Слайд 11 ), только теперь индивидуально, выбирая любой способ. б) Задание учащимся упростить выражение. (Слайд 13 ) или №402. Задание по желанию, по учебным возможностям.
III. Рефлексия. (10 минут) Результативность: формирование компетентности, которая оказывает содействие саморазвитию.	Учащиеся делают вывод на поставленную проблему.

Формулы корней. Свойства квадратных корней.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень . Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней , каковы свойства корней , и что со всем этим можно делать.

Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями - это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да...

Начнём с самой простой. Вот она:

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

В ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать с квадратными корнями. Поэтому важно знать правила действий с квадратными корнями и научиться преобразовывать выражения, их содержащие. Цель – изучение правил действий с квадратными корнями и способов преобразования выражений с квадратными корнями.

Мы знаем, что некоторые рациональные числа выражаются бесконечными периодическими десятичными дробями, как, например, число 1/1998=0,000500500500… Но ничто не мешает вообразить и число, в десятичном разложении которого не обнаружится никакого периода. Такие числа называются иррациональными.

История иррациональных чисел восходит к удивительному открытию пифагорейцев еще в VI в. до н. э. А началось все с простого, казалось бы, вопроса: каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1?

Диагональ разбивает квадрат на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом из которых она выполняет роль гипотенузы. Поэтому, как следует из теоремы Пифагора, длина диагонали квадрата равна

. Сразу же возникает соблазн достать микрокалькулятор и нажать клавишу извлечения квадратного корня. На табло мы увидим 1,4142135. Более совершенный калькулятор, выполняющий вычисления с высокой точностью покажет 1,414213562373. А с помощью современного мощного компьютера можно вычислить с точностью до сотен, тысяч, миллионов знаков после запятой. Но даже самый высокопроизводительный компьютер, сколько бы долго он ни работал, никогда не сможет ни рассчитать все десятичные цифры, ни обнаружить в них какой-либо период.

И хотя у Пифагора и его учеников компьютера не было, обосновали этот факт именно они. Пифагорейцы доказали, что у диагонали квадрата и его стороны общей меры (т.е. такого отрезка, который целое число раз откладывался бы и на диагонали, и на стороне) не существует. Следовательно, отношение их длин – число

– нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n. А коль скоро это так, добавим мы, десятичное разложение числа не обнаруживает никакой регулярной закономерности.

По следам открытия пифагорейцев

Как доказать, что число

иррационально? Предположим, существует рациональное число m/n=. Дробь m/n будем считать несократимой, ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимой. Возведя обе части равенства, получим . Отсюда заключаем, что m – число четное, то есть m=2К. Поэтому и, следовательно, , или . Но тогда получим что и n четное число, а этого быть не может, поскольку дробь m/n несократима. Возникает противоречие.

Остается сделать вывод, что наше предположение неверно и рационального числа m/n, равного

не существует.

1. Квадратный корень из числа

Зная время t , можно найти путь при свободном падении по формуле:

Решим обратную задачу.

Задача . Сколько секунд будет падать камень, сброшенный с высоты 122,5 м?

Чтобы найти ответ, нужно решить уравнение

Из него находим, что Теперь осталось найти такое положительное число t, что его квадрат равняется 25. Этим числом является 5, так как Значит, камень будет падать 5 с.

Искать положительное число по его квадрату приходится и при решении других задач, например при отыскании длины стороны квадрата по его площади. Введем следующее определение.

Определение . Неотрицательное число, квадрат которого равен неотрицательному числу а, называется квадратным корнем из а. Это число обозначают

Таким образом

Пример . Так как

Из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратные корни, так как квадрат любого числа или положителен, или равен нулю. Например, выражение

не имеет числового значения. знак называют знаком радикала (от латинского «радикс» – корень), а число а – подкоренным числом. Например, в записи подкоренное число равно 25. Так как Это означает, что квадратный корень из числа, записанного единицей и 2n нулями, равен числу, записываемому единицей и n нулями: = 10…0

2n нулей n нулей

Аналогично доказывается, что

2n нулей n нулей

Например,

2. Вычисление квадратных корней

Мы знаем, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Это означает, что

не может быть рациональным числом. Он является иррациональным числом, т.е. записывается в виде непериодической бесконечной десятичной дроби, причем первые десятичные знаки этой дроби имеют вид 1,414… Чтобы найти следующий десятичный знак, надо взять число 1.414х , где х может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, возвести по порядку эти числа в квадрат и найти такое значение х, при котором квадрат меньше, чем 2, но следующий за ним квадрат больше, чем 2. Таким значением является х=2. Далее повторяем то же самое с числами вида 1,4142х . Продолжая этот процесс, получаем одну за другой цифры бесконечной десятичной дроби, равной .

Аналогично доказывается существование квадратного корня из любого положительного действительного числа. Разумеется, последовательное возведение в квадрат весьма трудоемкое занятие, и потому существуют способы быстрее находить десятичные знаки квадратного корня. С помощью микрокалькулятора можно найти значение

с восемью верными цифрами. Для этого достаточно ввести в микрокалькулятор число а>0 и нажать клавишу – на экране высветится 8 цифр значения . В некоторых случаях приходится использовать свойства квадратных корней, которые мы укажем ниже.

Если точность, даваемая микрокалькулятором, недостаточна, можно воспользоваться способом уточнения значения корня, даваемым следующей теоремой.

Теорема. Если а – положительное число и – приближенное значение для по избытку, то