В этой статье мы поговорим про сложение отрицательных чисел . Сначала дадим правило сложения отрицательных чисел и докажем его. После этого разберем характерные примеры сложения отрицательных чисел.

Навигация по странице.

Правило сложения отрицательных чисел

Прежде чем дать формулировку правила сложения отрицательных чисел, обратимся к материалу статьи положительные и отрицательные числа . Там мы упоминали, что отрицательные числа можно воспринимать как долг, а в этом случае определяет величину этого долга. Следовательно, сложение двух отрицательных чисел – это есть сложение двух долгов.

Этот вывод позволяет осознать правило сложения отрицательных чисел . Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно:

• сложить их модули;
• поставить перед полученной суммой знак минус.

Запишем правило сложения отрицательных чисел −a и −b в буквенном виде: (−a)+(−b)=−(a+b) .

Понятно, что озвученное правило сводит сложение отрицательных чисел к сложению положительных чисел (модуль отрицательного числа является числом положительным). Также понятно, что результатом сложения двух отрицательных чисел является отрицательное число, о чем свидетельствует знак минус, который ставится перед суммой модулей.

Правило сложения отрицательных чисел можно доказать, основываясь на свойствах действий с действительными числами (или таких же свойствах действий с рациональными или целыми числами). Для этого достаточно показать, что разность левой и правой частей равенства (−a)+(−b)=−(a+b) равна нулю.

Так как вычитание числа – это все равно, что прибавление противоположного числа (смотрите правило вычитания целых чисел), то (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b)+(a+b) . В силу переместительного и сочетательного свойств сложения имеем (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b) . Так как сумма противоположных чисел равна нулю, то (−a+a)+(−b+b)=0+0 , а 0+0=0 в силу свойства сложения числа с нулем. Этим доказано равенство (−a)+(−b)=−(a+b) , а значит, и правило сложения отрицательных чисел.

Осталось лишь научиться применять правило сложения отрицательных чисел на практике, что мы и сделаем в следующем пункте.

Примеры сложения отрицательных чисел

Разберем примеры сложения отрицательных чисел . Начнем с самого простого случая – сложения отрицательных целых чисел, сложение будем проводить по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте.

Пример.

Выполните сложение отрицательных чисел −304 и −18 007 .

Решение.

Выполним все шаги правила сложения отрицательных чисел.

Сначала находим модули складываемых чисел: и . Теперь нужно сложить полученные числа, здесь удобно выполнить сложение столбиком :

Теперь ставим знак минус перед полученным числом, в результате имеем −18 311 .

Запишем все решение в краткой форме: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 .

Ответ:

−18 311 .

Сложение отрицательных рациональных чисел в зависимости от самих чисел можно свести либо к сложению натуральных чисел , либо к сложению обыкновенных дробей , либо к сложению десятичных дробей .

Пример.

Сложите отрицательное число и отрицательное число −4,(12) .

Решение.

По правилу сложения отрицательных чисел сначала нужно вычислить сумму модулей. Модули складываемых отрицательных чисел равны соответственно 2/5 и 4,(12) . Сложение полученных чисел можно свести к сложению обыкновенных дробей. Для этого переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь : . Таким образом, 2/5+4,(12)=2/5+136/33 . Теперь выполним

Отрицательные числа — это числа со знаком минус (−), например −1, −2, −3. Читается как: минус один, минус два, минус три.

Примером применения отрицательных чисел является термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»).

Например, −10 градусов холода:

Обычные же числа, которые мы рассматривали ранее, такие как 1, 2, 3 называют положительными. Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).

При записи положительных чисел знак + не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас числа 1, 2, 3. Но следует иметь ввиду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, +3.

Содержание урока

Это прямая линия, на которой располагаются все числа: и отрицательные и положительные. Выглядит следующим образом:

Здесь показаны числа от −5 до 5. На самом деле координатная прямая бесконечна. На рисунке представлен лишь её небольшой фрагмент.

Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные.

Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞, а положительное символом +∞. Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя — это любая латинская буква. Координата — это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой.

Например, точка А(2) читается как «точка А с координатой 2» и будет обозначаться на координатной прямой следующим образом:

Здесь A — это имя точки, 2 — координата точки A.

Пример 2. Точка B(4) читается как «точка B с координатой 4»

Здесь B — это имя точки, 4 — координата точки B.

Пример 3. Точка M(−3) читается как «точка M с координатой минус три» и будет обозначаться на координатной прямой так:

Здесь M — это имя точки, −3 — координата точки M.

Точки можно обозначать любыми буквами. Но общепринято обозначать их большими латинскими буквами. Более того, начало отчёта, которое по другому называют началом координат принято обозначать большой латинской буквой O

Легко заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчёта, а положительные числа правее.

Существуют такие словосочетания, как «чем левее, тем меньше» и «чем правее, тем больше» . Наверное, вы уже догадались о чём идёт речь. При каждом шаге влево, число будет уменьшаться в меньшую сторону. И при каждом шаге вправо число будет увеличиваться. Стрелка, направленная вправо, указывает на положительное направление отсчёта.

Сравнение отрицательных и положительных чисел

Правило 1. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше , чем три, несмотря на то, что пятёрка бросается в глаза в первую очередь, как цифра большая, чем три.

Связано это с тем, что −5 является отрицательным числом, а 3 — положительным. На координатной прямой можно увидеть, где располагаются числа −5 и 3

Видно, что −5 лежит левее, а 3 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

−5 < 3

«Минус пять меньше, чем три»

Правило 2. Из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой.

Например, сравним числа −4 и −1. Минус четыре меньше , чем минус единица.

Связано это опять же с тем, что на координатной прямой −4 располагается левее, чем −1

Видно, что −4 лежит левее, а −1 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой. Отсюда следует, что

Минус четыре меньше, чем минус единица

Правило 3. Ноль больше любого отрицательного числа.

Например, сравним 0 и −3. Ноль больше , чем минус три. Связано это с тем, что на координатной прямой 0 располагается правее, чем −3

Видно, что 0 лежит правее, а −3 левее. А мы говорили, что «чем правее, тем больше» . И правило говорит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что

Ноль больше, чем минус три

Правило 4. Ноль меньше любого положительного числа.

Например, сравним 0 и 4. Ноль меньше , чем 4. Это в принципе ясно и так. Но мы попробуем увидеть это воочию, опять же на координатной прямой:

Видно, что на координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

Ноль меньше, чем четыре

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

1. Образовательные:

• обобщить и систематизировать знания учащихся о правилах действий над положительными и отрицательными числами;
• закрепить умение применять правила в процессе выполнения упражнений;
• формировать навыки самостоятельной работы.

2. Развивающие:

• развивать логическое мышление учащихся, математическую речь, вычислительные навыки;
• развивать умение применять полученные навыки в решении уравнений.

3. Воспитательные:

• воспитание познавательного интереса к предмету;
• воспитание активности, настойчивости в достижении цели;
• воспитание коллективной дружбы, взаимопомощи, товарищества.

Тип урока : повторение, систематизация и обобщение изученного.

Формы работы на уроке : индивидуальная, групповая, парная, коллективная; устная, письменная.

Оборудование : наглядный материал (презентация); мультимедийный проектор, компьютерная система; раздаточный дидактический материал.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Постановка целей и формулировка темы урока.
3. Актуализация знаний учащихся.
4. Закрепление знаний.
5. Исторические сведения.
6. Подведение итогов урока и задание на дом.

Ход урока

I. Организационный момент.

– Добрый день! Здравствуйте, ребята!

Нам урок пора начать.
Пришло время вычислять.
И на трудные вопросы
Вы ответ сумейте дать.

– А трудных вопросов сегодня будет много.

II. Постановка целей и формулирование темы урока.

(Слайды 1 3

– Ребята, на протяжении последних уроков математики, мы, учились выполнять действия с положительными и отрицательными числами. Целью сегодняшнего урока будет закрепление знаний, связанных с выполнением действий над положительными и отрицательными числами. Итак, давайте вместе сформулируем тему сегодняшнего урока.

Ученики формулируют тему. Запись в тетрадях.

– Девизом нашего урока мне хочется взять слова гениального русского поэта и ученого М.В.Ломоносова: «Примеры учат больше, чем теория». И мы сегодня с вами, ребята, постараемся подтвердить эти слова. (Слайд 4)

За выполнение каждого задания, во время работы, вы будете ставить себе в тетрадях определенное количество баллов.

III. Актуализация знаний учащихся.

1) Работа над правилами (5 баллов). (Слайды 5-12)

• Учитель проводит указкой по знакам сверху вниз и говорит «Знаки». Это означает, что первый ученик должен представлять вместо * знаки действий в порядке очередности, определить знаки чисел, которые будут получаться в результате выполнения этих действий. Потом проводит указкой снизу вверх, и второй ученик назовет знаки чисел в обратном порядке.
• Учитель проводит указкой по знакам сверху вниз и говорит «Ответы». Третий ученик должен представлять вместо * знаки действий в порядке очередности, назовет ответы чисел, которые будут получаться в результате выполнения этих действий. Потом проводит указкой снизу вверх, и четвертый ученик назовет ответы в обратном порядке.
• Учитель говорит «Представьте себе, что на первом месте стоит число -150, а не 150» и предлагает выполнить устно задание, аналогичное предыдущему.

Проверку каждого примера сопроводить правилом.

2) Даны числа -15 и 3. Назовите:

а) какое из чисел больше (меньше);
б) модули этих чисел;
в) два целых числа, расположенных между ними;
г) сумму, разность, произведение и частное данных чисел (4 балла). (Слайд 13)

– Итак, мы с вами вспомнили правила действий с положительными и отрицательными числами.

IV. Закрепление знаний.

1) Опорная схема. (Слайды 14-17)

– А сейчас повторим основные правила на действия с отрицательными и положительными числами, составляем опорную схему.

Действие «вычитание» заменяется сразу раскрытием скобок и приведением к алгебраической сумме и отрабатывается навык вычисления алгебраической суммы.

2) Карточка-тренажер . Работа в группах (6 баллов).

– Ребята, я вам раздам карточки. Выделим четыре типа заданий, которые оформляются в виде карточек. Для удобства карточки обозначим: «ДПОЧ-1», «ДПОЧ-2», «ДПОЧ-3», «ДПОЧ-4», где буквы указывают тему, а цифры – порядковый номер карточки. В каждой карточке содержится по 5 упражнений с ответами (Приложение 1 ).

Все ученики получают по одной карточке и рассаживаются по парам. Один из учеников пары диктует своему напарнику первое упражнение своей карточки, однако ответ не читает. Напарник выполняет предложенное упражнение. Первый ученик следит за правильностью выполнения упражнения напарником. Если ответ правильный, то предлагает выполнить второе упражнение. Если ответ неправильный, то он дает время напарнику подумать и еще раз попытаться ответить на вопрос. Если напарник затрудняется или ошибается, то первый ученик сообщает правильный ответ, затем переходит к следующему вопросу. После того как первый ученик продиктует все упражнения из своей карточки, а второй правильно выполнит их, напарники меняются ролями. Совместная работа считается законченной, когда все упражнения продиктованы и проверены друг другом. Пара расходится, и каждый ученик уходит со своей карточкой. Один из учеников группы выполняет координацию работы.

3) Самостоятельная работа (1-3 – 5 баллов; 4 – 3 балла), (приложение 2 ).

– Проверьте себя, выполнив тестовые задания по этой теме.

1 вариант

Какой знак надо поставить вместо *, чтобы получилось верное неравенство? 10 + (-35) * -10,9
а) > б) <; в) =; г) нет такого знака

Выполните действия: (– 0,5* 6,8 + 1,2): (-2);
а) -2,3; б) -1,1; в) 1,1; г) 2,3

Решите уравнение: -5 + х = 6,9
а) 11,9; б) -1,9; в) – 11,9; г) 1,9

Для желающих. Решите уравнение: |2 + х| = 4

Ответы: 1. б; 2. в; 3. а; 4. – 6; 2.

2 вариант

Какой знак надо поставить вместо *, чтобы получилось верное неравенство? 24 + (-30) * – 20,51
а) > б) <; в) =; г) нет такого знака

Выполните действия: (4,8* (– 0,5) – 2,1): 5;
а) – 0,18; б) 0,9; в) 0, 18; г) – 0,9

Решите уравнение: 7,2 – х = 8,7
а) 1, 5; б) 15, 9; в) – 1,5; г) – 15, 9

Для желающих. Решите уравнение: |4 + х| = 12
Ответы: 1. а; 2. г; 3. в; 4. – 16; 8.

Самопроверка и самооценка по «ключу». (Слайд 18)

Ответ: Брахмагупта

Брахмагупта – индийский математик, который жил в 7 веке. Одним из первых он начал использовать положительные и отрицательные числа. Положительные числа он называл «имущество», отрицательные – «долги».

VI. Подведение итогов урока.

(Слайды 23-24)

– Ребята, на ваших столах лежат карточки. Заполните, пожалуйста! (Приложение 4 )

«3» – 12 -16б; «4» – 17 -22б; «5» – 23б и более.

Задание на дом:

• №1211, 1224 (2)
• Для желающих: составить математическое лото по данной теме или придумать правила сложения, вычитания, умножения и деления рациональных чисел в стихотворной форме.

Ученики сдают тетради и карточки подведения итогов урока на проверку учителю.

– Молодцы! Спасибо за урок!

Литературные источники, использованные при подготовке к уроку:

1. Математика, 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С Чесноков, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2010.
2. Математика в школе, 1995, №2. Взаимотренаж на уроках математики. Текст Б.Н. Бигельдинова.
3. Математика в школе, 1994, №6. Опорные конспекты для 5-6 классов. Л.В. Воронина.

Абсолютной величиной (или абсолютным значением) отрицательного числаназывается положительное число, получаемое от перемены его знака (-) на обратный (+). Абсолютная величина -5 есть +5, т. е. 5. Абсолютной величиной положительного числа (а также числа 0) называется само это число.

Знак абсолютной величины - две прямые черты, в которые заключается число, абсолютная величина которого берется. Например,

|-5| = 5,
|+5| = 5,
| 0 | = 0.

Сложение чисел с одинаковым знаком.а) При сложении двух чисел с одинаковым знаком складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится общий их знак.

Примеры.
(+8) + (+11) = 19;
(-7) + (-3) = -10.

б) При сложении двух чисел с разными знаками из абсолютной величины одного из них вычитается абсолютная величина другого (меньшая из большей) а ставится знак того числа, у которого абсолютная величина больше.

Примеры.
(-3) + (+12) = 9;
(-3) + (+1) = -2.

Вычитание чисел с разными знаками.Вычитание одного числа из другого можно заменить сложением; при этом уменьшаемое берется со своим знаком, а вычитаемое с обратным.

Примеры.
(+7) - (+4) = (+7) + (-4) = 3;
(+7) - (-4) = (+7) + (+4) = 11;
(-7) - (-4) = (-7) + (+4) = -3;
(-4) - (-4) = (-4) + (+4) = 0;

Замечание. При выполнении сложения и вычитания, особенно когда имеем дело с несколькими числами, лучше всего поступать так:
1) освободить все числа от скобок, при этом перед числом поставить знак «+ », если прежний знак перед скобкой был одинаков со знаком в скобке, и « -», если он был противоположен знаку в скобке;
2) сложить абсолютные величины всех чисел, имеющих теперь слева знак +;
3) сложить абсолютные величины всех чисел, имеющих теперь слева знак -;
4) из большей суммы вычесть меньшую и поставить знак, соответствующий большей сумме.

Пример.
(-30) - (-17) + (-6) - (+12) + (+2);
(-30) - (-17) + (-6) - (+12) + (+2) = -30 + 17 - 6 - 12 + 2;
17 + 2 = 19;
30 + 6 + 12 = 48;
48 - 19 = 29.

Результат есть отрицательное число -29, так как большая сумма (48) получилась от сложения абсолютных величин тех чисел, перед которыми стоили минусы в выражении -30 + 17 – 6 -12 + 2. На это последнее выражение можно смотреть и как на сумму чисел -30, +17, -6, -12, +2, и как на результат последовательного прибавления к числу -30 числа 17, затем вычитания числа 6, затем вычитания 12и, наконец, прибавления 2. Вообще на выражение а - b + с - d и т. д. можно смотреть и как на сумму чисел (+а), (-b), (+с), (-d), и как на результат таких последовательных действий: вычитания из (+а) числа (+b) , прибавления (+c), вычитании (+d) и т. д.

Умножение чисел с разными знакамиПри умножении двух чисел умножаются их абсолютные величины и перед произведением ставится знак плюс, если знаки сомножителей одинаковы, и минус, если они разные.

Схема (правило знаков при умножении):

+*+=+ +*-=- -*+=- -*-=+
Примеры.
(+ 2,4) * (-5) = -12;
(-2,4) * (-5) = 12;
(-8,2) * (+2) = -16,4.

При перемножении нескольких сомножителей знак произведения положителен, если число отрицательных сомножителей четно, и отрицателен, если число отрицательных сомножителей нечетно.

Примеры.
(+1/3) * (+2) * (-6) * (-7) * (-1/2) = 7 (три отрицательных сомножителя);
(-1/3) * (+2) * (-3) * (+7) * (+1/2) = 7 (два отрицательных сомножителя).

Деление чисел с разными знакамиПри делении одного числа на другое делят абсолютную величину первого на абсолютную величину второго и перед частным ставится знак плюс, если знаки делимого и делителя одинаковы, и минус, если они разные (схема та же, что для умножения).

Примеры.
(-6) : (+3) = -2;
(+8) : (-2) = -4;
(-12) : (-12) = + 1

Положительные и отрицательные числа
Координатная прямая
Проведём прямую. Отметим на ней точку 0 (ноль) и примем эту точку за начало отсчёта.

Укажем стрелкой направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом направлении от точки 0 будем откладывать положительные числа.

То есть положительными называют уже известные нам числа, кроме нуля.

Иногда положительные числа записывают со знаком «+». Например, «+8».

Для краткости записи знак «+» перед положительным числом обычно опускают и вместо «+8» пишут просто 8.

Поэтому «+3» и «3» - это одно и тоже число, только по разному обозначенное.

Выберем какой-либо отрезок, длину которого примем за единицу и отложим его несколько раз вправо от точки 0. В конце первого отрезка записывается число 1, в конце второго - число 2 и т.д.

Отложив единичный отрезок влево от начала отсчёта получим отрицательные числа: -1; -2; и т.д.

Отрицательные числа используют для обозначения различных величин, таких как: температура (ниже нуля), расход - то есть отрицательный доход, глубина - отрицательная высота и другие.

Как видно из рисунка, отрицательные числа - это уже известные нам числа, только со знаком «минус»: -8; -5,25 и т.д.

• Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Числовую ось обычно располагают горизонтально или вертикально.

Если координатная прямая расположена вертикально, то направление вверх от начала отсчёта обычно считают положительным, а вниз от начала отсчёта - отрицательным.

Стрелкой указывают положительное направление.

Прямая, на которой отмечено:
. начало отсчёта (точка 0);
. единичный отрезок;
. стрелкой указано положительное направление;
называется координатной прямой или числовой осью.

Противоположные числа на координатной прямой
Отметим на координатной прямой две точки A и B, которые расположены на одинаковом расстоянии от точки 0 справа и слева соответственно.

В таком случае длины отрезков OA и OB одинаковы.

Значит, координаты точек A и B отличаются только знаком.


Также говорят, что точки A и B симметричны относительно начала координат.
Координата точки A положительная «+2», координата точки B имеет знак минус «-2».
A (+2), B (-2).

• Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными числами. Соответствующие им точки числовой (координатной) оси симметричны относительны начала отсчёта.

Каждое число имеет единственное противоположное ему число . Только число 0 не имеет противоположного, но можно сказать, что оно противоположно самому себе.

Запись «-a» означает число, противоположное «a». Помните, что под буквой может скрываться как положительное число, так и отрицательное число.

Пример:
-3 - число противоположное числу 3.

Записываем в виде выражения:
-3 = -(+3)

Пример:
-(-6) - число противоположное отрицательному числу -6. Значит, -(-6) это положительное число 6.

Записываем в виде выражения:
-(-6) = 6

Сложение отрицательных чисел
Сложение положительных и отрицательных чисел можно разобрать с помощью числовой оси.

Сложение небольших по модулю чисел удобно выполнять на координатной прямой, мысленно представляя себе как точка, обозначающая число передвигается по числовой оси.

Возьмём какое-нибудь число, например, 3. Обозначим его на числовой оси точкой A.

Прибавим к числу положительное число 2. Это будет означать, что точку A надо переместить на два единичных отрезка в положительном направлении, то есть вправо . В результате мы получим точку B с координатой 5.
3 + (+ 2) = 5

Для того чтобы к положительному числу, например, к 3 прибавить отрицательное число (- 5), точку A надо переместить на 5 единиц длины в отрицательном направлении, то есть влево .

В этом случае координата точки B равна - 2.

Итак, порядок сложения рациональных чисел с помощью числовой оси будет следующим:
. отметить на координатной прямой точку A с координатой равной первому слагаемому;
. передвинуть её на расстояние, равное модулю второго слагаемого в направлении, которое соответствует знаку перед вторым числом (плюс - передвигаем вправо, минус - влево);
. полученная на оси точка B будет иметь координату, которая будет равна сумме данных чисел.

Пример.
- 2 + (- 6) =

Двигаясь от точки - 2 влево (так как перед 6 стоит знак минус), получим - 8.
- 2 + (- 6) = - 8

Сложение чисел с одинаковыми знаками
Складывать рациональные числа можно проще, если использовать понятие модуля.

Пускай нам нужно сложить числа, которые имеют одинаковые знаки.
Для этого, отбрасываем знаки чисел и берём модули этих чисел. Сложим модули и перед суммой поставим знак, который был общим у данных чисел.

Пример.

Пример сложения отрицательных чисел.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5

• Чтобы сложить числа одного знака надо сложить их модули и поставить перед суммой знак, который был перед слагаемыми.

Сложение чисел с разными знаками
Если числа имеют разные знаки, то действуем несколько по-иному, чем при сложении чисел с одинаковыми знаками.
. Отбрасываем знаки перед числами, то есть берём их модули.
. Из большего модуля вычитаем меньший.
. Перед разностью ставим тот знак, который был у числа с бóльшим модулем.

Пример сложения отрицательного и положительного числа.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5

Пример сложения смешанных чисел.

Чтобы сложить числа разного знака надо:
. из бóльшего модуля вычесть меньший модуль;
. перед полученной разностью поставить знак числа, имеющего больший модуль.

Вычитание отрицательных чисел
Как известно вычитание - это действие, противоположное сложению.
Если a и b - положительные числа, то вычесть из числа a число b, значит найти такое число c, которое при сложении с числом b даёт число a.
a - b = с или с + b = a

Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел можно заменить сложением.

• Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.

Или по другому можно сказать, что вычитание числа b - это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу b.
a - b = a + (- b)

Пример.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2

Пример.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2

• Стоит запомнить выражения ниже.
• 0 - a = - a
• a - 0 = a
• a - a = 0

Правила вычитания отрицательных чисел
Как видно из примеров выше вычитание числа b - это сложение с числом противоположным числу b.
Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.

Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.

Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Удобно запомнить правило знаков, которое позволяет уменьшить количество скобок.
Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.
+ (+ a) = + a

+ (- a) = - a

Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.
- (+ a) = - a

- (- a) = + a

Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем «+», а если знаки разные, то получаем «-».
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0

Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n

Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всемичислами в этих скобках.

Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.
Правило знаков для чисел

Или выучить простое правило.

• Минус на минус даёт плюс,
• Плюс на минус даёт минус.

Умножение отрицательных чисел
Используя понятие модуля числа, сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел.

Умножение чисел с одинаковыми знаками
Первый случай, который может вам встретиться - это умножение чисел с одинаковыми знаками.
Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками надо:
. перемножить модули чисел;
. перед полученным произведением поставить знак «+» (при записи ответа знак «плюс» перед первым числом слева можно опускать).

Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6

Умножение чисел с разными знаками
Второй возможный случай - это умножение чисел с разными знаками.
Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо:
. перемножить модули чисел;
. перед полученным произведением поставить знак «-».
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4

Правила знаков для умножения
Запомнить правило знаков для умножения очень просто. Данное правило совпадает с правилом раскрытия скобок.

• Минус на минус даёт плюс,
• Плюс на минус даёт минус.

В «длинных» примерах, в которых есть только действие умножение, знак произведения можно определять по количеству отрицательных множителей.

При чётном числе отрицательных множителей результат будет положительным, а при нечётном количестве - отрицательным.
Пример.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =

В примере пять отрицательных множителей. Значит, знак результата будет «минус».
Теперь вычислим произведение модулей, не обращая внимание на знаки.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728

Конечный результат умножения исходных чисел будет:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728

Умножение на ноль и единицу
Если среди множителей есть число ноль или положительная единица, то умножение выполняется по известным правилам.
. 0 . a = 0
. a . 0 = 0
. a . 1 = a
Примеры:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
Особую роль при умножении рациональных чисел играет отрицательная единица (- 1).

• При умножении на (- 1) число меняется на противоположное.

В буквенном выражении это свойство можно записать:
a . (- 1) = (- 1) . a = - a

При совместном выполнении сложения, вычитания и умножения рациональных чисел сохраняется порядок действий, установленный для положительных чисел и нуля.

Пример умножения отрицательных и положительных чисел.

Деление отрицательных чисел
Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление - это действие, обратное умножению.

Если a и b положительные числа, то разделить число a на число b, значит найти такое число с, которое при умножении на b даёт число a.

Данное определение деления действует для любых рациональных чисел, если делители отличны от нуля.

Поэтому, например, разделить число (- 15) на число 5 - значит, найти такое число, которое при умножении на число 5 даёт число (- 15). Таким числом будет (- 3), так как
(- 3) . 5 = - 15

значит

(- 15) : 5 = - 3

Примеры деления рациональных чисел.
1. 10: 5 = 2, так как 2 . 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2, так как 2 . (- 2) = - 4
3. (- 18) : 3 = - 6, так как (- 6) . 3 = - 18
4. 12: (- 4) = - 3, так как (- 3) . (- 4) = 12

Из примеров видно, что частное двух чисел с одинаковыми знаками - число положительное (примеры 1, 2), а частное двух чисел с разными знаками - число отрицательное (примеры 3,4).

Правила деления отрицательных чисел
Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.
Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо:

. перед результатом поставить знак «+».
Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2

Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:
. модуль делимого разделить на модуль делителя;
. перед результатом поставить знак «-».
Примеры деления чисел с разными знаками:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.
Правило знаков при делении

При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби

Можно обратить внимание, что в числителе 2 знака «минус», которые при умножении дадут «плюс». Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус». Поэтому в конце результат получится со знаком «минус».

Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:

• Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.
• 0: a = 0, a ≠ 0
• Делить на ноль НЕЛЬЗЯ!

Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел.
. а: 1 = a
. а: (- 1) = - a
. а: a = 1
, где а - любое рациональное число.

Зависимости между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, сохраняются и для всех рациональных чисел (кроме числа нуль):
. если a . b = с; a = с: b; b = с: a;
. если a: b = с; a = с. b; b = a: c
Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления.

Пример нахождения неизвестного.
x . (- 5) = 10

x = 10: (- 5)

x = - 2

Знак «минус» в дробях
Разделим число (- 5) на 6 и число 5 на (- 6).

Напоминаем, что черта в записи обыкновенной дроби - это тот же знак деления, и запишем частное каждого из этих действий в виде отрицательной дроби.

Таким образом знак "минус" в дроби может находиться:
. перед дробью;
. в числителе;
. в знаменателе.

• При записи отрицательных дробей знак «минус» можно ставить перед дробью, переносить его из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель.

Это часто используется при выполнении действий с дробями, облегчая вычисления.

Пример. Обратите внимание, что после вынесения знака «минуса» перед скобкой мы из большего модуля вычитаем меньший по правилам сложения чисел с разными знаками.


Используя описанное свойство переноса знака в дроби, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше.