Изгибаемые железобетонные конструкции прямоугольного сечения не являются эффективными с точки зрения экономичности. Это связано с тем, что нормальные напряжения по высоте сечения при изгибе элемента распределяются неравномерно. В сравнении с прямоугольными сечениями тавровые сечения значительно выгоднее, т.к. при одной и той же несущей способности расход бетона в элементах таврового профиля меньше.

Тавровое сечение, как правило, имеет одиночное армирование.

В расчетах на прочность нормальных сечений изгибаемых элементов таврового профиля имеет место два расчетных случая.

Алгоритм первого расчетного случая построен на предположении, что нейтральная ось изгибаемого элемента расположена в пределах сжатой полки.

Алгоритм второго расчетного случая построен на предположении, что нейтральная ось изгибаемого элемента расположена за пределами сжатой полки (проходит по ребру таврового сечения элемента).

Расчет прочности нормального сечения изгибаемого железобетонного элемента с одиночным армированием в случае, когда нейтральная ось расположена в пределах сжатой полки, идентичен алгоритму расчета прямоугольного сечения с одиночной арматурой шириной сечения равного ширине полки тавра.

Расчетная схема для этого случая представлена на рис 3.3.

Рис. 3.3. К расчету прочности нормального сечения изгибаемого железобетонного элемента в случае, когда нейтральная ось расположена в пределах сжатой полки.

Геометрически случай, когда нейтральная ось расположена в пределах сжатой полки означает, что высота сжатой зоны сечения тавра () не больше высоты сжатой полкии выражается условием:.

С точки зрения действующих усилий от внешней нагрузки и внутренних усилий это условие означает, что прочность сечения обеспечена, если расчетное значение изгибающего момента от внешней нагрузки (M ) не превысит расчетного значения момента внутренних усилий относительно центра тяжести сечения растянутой арматуры при значениях .

M (3.25)

Если условие (3.25) выполняется, то нейтральная ось действительно расположена в пределах сжатой полки. В этом случае, необходимо уточнить какой размер ширины сжатой полки необходимо учитывать в расчете. Нормы устанавливают следующие правила:

Значение b " f , вводимое в расчет; принимают из условия, что ширина свеса полки в каждую сторону от ребра должна быть не более 1 / 6 пролета элемента и не более:

а) при наличии поперечных ребер или при h " f ≥ 0,1 h - 1 / 2 расстояния в свету между продольными ребрами;

б) при отсутствии, поперечных ребер (или при расстояниях между ними больших, чем расстояния между продольными ребрами) и h " f < 0,1 h - 6 h " f

в) при консольных свесах полки:

при h " f ≥ 0,1 h - 6 h " f ;

при 0,05 h ≤ h " f < 0,1 h - 3 h " f ;

при h " f < 0,05 h - свесы не учитывают .

Запишем условие прочности относительно центра тяжести растянутой продольной арматуры

M (3.26)

Преобразуем уравнение (3.26) аналогично преобразованиям выражений (3.3). (3.4) получим выражение

M (3.27)

Отсюда определим значение

= (3.28)

По значению из таблицы определим значенияи𝛈.

Сравним значение . сечения элемента. Если выполняется условие 𝛏 , то составляет условие прочности относительно центра тяжести сжатой зоны тавра.

M (3.29)

Выполнив преобразование выражения (3.29) аналогичные преобразованию выражения (3.12) получим:

= (3.30)

необходимо подобрать значения площади растянутой продольной рабочей арматуры.

Расчет прочности нормального сечения изгибаемого железобетонного элемента с одиночным армированием в случае, когда нейтральная ось расположена за пределами сжатой полки (проходит по ребру тавра) несколько отличается от рассмотренного выше.

Расчетная схема для этого случая представлена на рис 3.4.

Рис. 3.4. К расчету прочности нормального сечения изгибаемого железобетонного элемента в случае, когда нейтральная ось расположена за пределами сжатой полки.

Рассмотрим сечение сжатой зоны тавра как сумму, состоящую из двух прямоугольников (свесы полки) и прямоугольника относящегося к сжатой части ребра.

Условие прочности относительно центра тяжести растянутой арматуры.

M + (3.31)

где – усилие в сжатых свесах полки;

Плечо от центра тяжести растянутой арматуры до центра тяжести свесов полки;

–усилие в сжатой части ребра тавра;

- плечо от центра тяжести растянутой арматуры до центра тяжести сжатой части ребра.

= (3.32)

= (3.33)

= b (3.34)

= (3.35)

Подставим выражения (3.32 – 3.35) в формулу (3.31).

M + b (3.36)

Преобразуем в выражении (3.36) второе слагаемое правой части уравнения аналогично преобразованиям выполненным выше (формулы 3.3; 3.4; 3.5)

Получим следующее выражение:

M + (3.37)

Отсюда определим численное значение .

= (3.38)

По значению из таблицы определим значенияи𝛈.

Сравним значение с граничным значением относительной высоты сжатой зоны . сечения элемента. Если выполняется условие 𝛏, то составляют условие равновесия проекций усилий на продольную ось элемента. Σ N =0

--=0 (3.39)

=+ b (3.40)

Отсюда определим необходимую площадь сечения растянутой продольной рабочей арматуры.

= (3.41)

По сортаменту стержневой арматуры необходимо подобрать значения площади растянутой продольной рабочей арматуры.

Особенностью центра тяжести является то, что эта сила, действует на тело не в какой - то одной точке, а распределена по всему объему тела. Силы тяжести, которые действуют на отдельные элементы тела (которые можно считать материальными точками), направлены к центру Земли и не являются строго параллельными. Но так как размеры большинства тел на Земле много меньше ее радиуса, поэтому эти силы считают параллельными.

Определение центра тяжести

Определение

Точку, через которую проходит равнодействующая всех параллельных сил тяжести, оказывающих воздействие на элементы тела при любом расположении тела в пространстве, называют центром тяжести .

Иначе говоря: центр тяжести - это точка, к которой приложена сила тяжести при любом положении тела в пространстве. Если известно положение центра тяжести, то можно считать, что сила тяжести - это одна сила, и она приложена в центре тяжести.

Задача нахождение центра тяжести является значимой задачей в технике, поскольку от положения центра тяжести зависит устойчивость всех конструкций.

Метод нахождения центра тяжести тела

Определяя положение центра тяжести тела сложной формы можно сначала мысленно разбить тело на части простой формы и найти центы тяжести для них. Для тел простой формы можно сразу определить центр тяжести из соображений симметрии. Сила тяжести однородных диска и шара находится в их центре, однородного цилиндра в точке на середине его оси; однородного параллелепипеда на пересечении его диагоналей и т,д. У всех однородных тел центр тяжести совпадает с центром симметрии. Центр тяжести может находиться вне тела, например кольцо.

Выясним расположение центров тяжести частей тела, находят место расположения центра тяжести тела в целом. Для этого тело представляют в виде совокупности материальных точек. Каждая такая точка находится в центре тяжести своей части тела и обладает массой этой части.

Координаты центра тяжести

В трехмерном пространстве координаты точки приложения равнодействующей всех параллельных сил тяжести (координаты центра тяжести), для твердого тела вычисляются как:

\[\left\{ \begin{array}{c} x_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_ix_i}}{m};; \\ y_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_iy_i}}{m};; \\ z_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_iz_i}}{m} \end{array} \right.\left(1\right),\]

где $m$ - масса тела.$;;x_i$ - координата на оси X элементарной массы $\Delta m_i$; $y_i$ - координата на оси Y элементарной массы $\Delta m_i$; ; $z_i$ - координата на оси Z элементарной массы $\Delta m_i$.

В векторной записи система из трех уравнений (1) записывается как:

\[{\overline{r}}_c=\frac{1}{m}\sum\limits_i{m_i{\overline{r}}_i\left(2\right),}\]

${\overline{r}}_c$ - радиус - вектор, определяющий положение центра тяжести; ${\overline{r}}_i$ - радиус-векторы, которые определяют положения элементарных масс.

Центр тяжести, центр масс и центр инерции тела

Формула (2) совпадает с выражениями, определяющими центр масс тела. В том случае, если размеры тела малы в сравнении с расстоянием до центра Земли, центр тяжести считают совпадающим с центром масс тела. В большинстве задач центр тяжести совпадает с центром масс тела.

Сила инерции в неинерциальных системах отсчета, перемещающейся поступательно приложена к центру тяжести тела.

Но следует учитывать, что центробежная сила инерции (в общем случае) не приложена к центру тяжести, поскольку в неинерциальной системе отсчета на элементы тела действуют разные центробежные силы инерции (даже если массы элементов равны), так как расстояния до оси вращения разные.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Система составлена из четырех маленьких шариков (рис.1) каковы координаты ее центра тяжести?

Решение. Рассмотрим рис.1. Центр тяжести будет иметь в этом случае одну координату $x_c$, которую определим как:

Масса тела в нашем случае равна:

Числитель дроби в правой части выражения (1.1) в случае (1(а)) принимает вид:

\[\sum\limits_{i=4}{\Delta m_ix_i=m\cdot 0+2m\cdot a+3m\cdot 2a+4m\cdot 3a=20m\cdot a}.\]

Получаем:

Ответ. $x_c=2a;$

Пример 2

Задание. Система составлена из четырех маленьких шариков (рис.2) каковы координаты ее центра тяжести?

Решение. Рассмотрим рис.2. Центр тяжести системы находится на плоскости, следовательно, он имеет две координаты ($x_c,y_c$). Найдем их по формулам:

\[\left\{ \begin{array}{c} x_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_ix_i}}{m};; \\ y_с=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_iy_i}}{m}. \end{array} \right.\]

Масса системы:

Найдем координату $x_c$:

Координата $y_с$:

Ответ. $x_c=0,5\ a$; $y_с=0,3\ a$

Расчеты такие же, как для балки прямоугольного сечения. Они охватывают определение усилие в балке и на углах плиты. Затем усилия приводят к центру тяжести нового таврового сечения.

Ось проходит через центр тяжести плиты.

Упрощенный подход учета сил от плиты состоит в умножении усилий на узлах плиты (общие узлы плиты и балки) расчетной шириной плиты. При позиционировании балки относительно плиты учитываются смещения (также относительные смещения). Полученные сокращенные результаты являются такими же как если бы тавровое сечение было приподнято от плоскости плиты на величину смещения, равную расстоянию от центра тяжести плиты до центра тяжести таврового сечения (см. рис. ниже).

Приведение усилий к центру тяжести таврового сечения происходит так:

M = Mb + Mp * B + Np * B * e1 + Nb * e2

B = beff1+b+beff2

Определение центра тяжести таврового сечения

Статический момент, рассчитываемый в центре тяжести плиты

S = b*h*(смещение)

A = (beff1+b+beff2)*hpl + b*h

Центр тяжести, приподнятый относительно центра тяжести плиты:

b - ширина балки;

h - высота балки;

beff1, beff2 - расчетные ширины плиты;

hpl - высота плиты (толщина плиты);

смещение - это смещение балки относительно плиты.

ПРИМЕЧАНИЕ.

1. Необходимо учесть, что могут встречаться общие площади плиты и балки, которые к сожалению будут рассчитаны дважды, что приведет к увеличению жесткости тавровой балки. В результате усилия и прогибы получаются меньше.
2. Результаты по плите считываются с узлов конечных элементов; сгущение сетки оказывает влияние на результаты.
3. В модели ось таврового сечения проохит через центр тяжести плиты.
4. Умножение соответствующих усилий на принятую расчетную ширину плиты является упрощением, что приводит к получению приблизительных результатов.