На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков:

• если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;
• если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

• найти область определения функции;

• найти производную функции;

• к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Рассмотрим пример для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2 , а знаменатель обращается в ноль при x = 0 . Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Таким образом, и .

В точке x = 2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x = 0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Ответ: функция возрастает при , убывает на интервале (0; 2] .

- Точки экстремума функции одной переменной. Достаточные условия экстремума

Пусть функция f(x), определенная и непрерывная в промежутке , не является в нем монотонной. Найдутся такие части [ , ] промежутка , в которых наибольшее и наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке, т.е. между и.

Говорят, что функция f(x) имеет в точке максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (x 0 - ,x 0 +), содержащейся в промежутке, где задана функция, что для всех её точек выполняется неравенство.

f(x) < f(x 0)(или f(x)>f(x 0))

Иными словами, точка x 0 доставляет функции f(x) максимум (минимум), если значение f(x 0) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки x 0 .

Если существует такая окрестность, в пределах которой (при x=x 0) выполняется строгое неравенство

f(x)f(x 0)

то говорят, что функция имеет в точке x 0 собственный максимум (минимум), в противном случае – несобственный.

Если функция имеет максимумы в точках x 0 и x 1 , то, применяя к промежутку вторую теорему Вейерштрасса, видим, что наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке x 2 между x 0 и x 1 и имеет там минимум. Аналогично, между двумя минимумами непременно найдется максимум. В том простейшем (и на практике – важнейшим) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов, они просто чередуются.

Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует и объединяющий их термин – экстремум.

Понятия максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) являются локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке х 0 . Понятия наибольшего (sup f(x)) и наименьшего (inf f(x)) значений относятся к конечному отрезку и являются глобальными свойствами функции на отрезке.

Из рисунка 1 видно, что в точках х 1 и х 3 локальные максимумы, а в точках х 2 и х 4 – локальные минимумы. Однако, наименьшего значения функция достигает в точке х=а, а наибольшего – в точке х=b.

Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента, доставляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная.

Предположим сначала, что для фунции f(x) в промежутке(a,b) существует конечная производная. Если в точке х 0 функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку (х 0 - ,х 0 +), о которой была речь выше, теорему Ферма, заключаем, что f(x)=0 этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю.

Не следует, думать, однако, что каждая точка, в которой производная равна нулю, доставляет функции экстремум: указанное только что необходимое условие неявляется достаточным

Признаки локального возрастания и убывания функции.

Одна из основных задач исследования функции — это нахождение промежутков ее возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной. Сформулируем соответствующие утверждения.

Достаточный признак возрастания функции . Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.

Достаточный признак убывания функции . Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х 1 и x 2 из интервала. Пусть x 1 существует число с∈(х 1 , x 2 ), такое, что

(1)

Число с принадлежит интервалу I, так как точки х 1 и x 2 принадлежат I. Если f"(x)>0 для х∈I то f’(с)>0, и поэтому F(x 1 )) — это следует из формулы (1), так как x 2 — x 1 >0. Этим доказано возрастание функции f на I. Если же f’ (x)<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1 )>f (х 2 ) — следует из формулы (1), так как x 2 —x 1 >0. Доказано убывание функции f на I.

Наглядный смысл признаков ясен из физических рассуждений (рассмотрим для определенности признак возрастания).

Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент времени t равна f"(t) (см. Мгновенная скорость ). Если f’ (t)>0 в каждый момент времени из промежутка t, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если t 1 ). Это означает, что функция f возрастает на промежутке I.

Замечание 1.

Если функция f непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.

Замечание 2.

Для решения неравенств f" (х)>0 и f" (х)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции в точке.

Необходимое условие экстремума

Функция g(x) в точке имеет экстремум(максимум или минимум), если функция определена в двухсторонней окрестности точки и для всех точек x некоторой области: , выполнено соответственно неравенство

(в случае максимума) или (в случае минимума).

Экстремум функции находиться из условия: , если производная существует, т.е. приравниваем первую производную функции к нулю.

Достаточное условие экстремума

1) Первое достаточное условие :

а) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точки такой, что первая производная в данной точке равна нулю или не существует.

б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции

в) производная сохраняет определенный знак справа от точки и слева от этой же точки, тогда точку можно охарактеризовать следующим образом

Это условие не очень удобное, так как нужно проверять множество условий и запоминать таблицу, однако если ничего не сказано о производных высших порядках, то это единственный способ найти экстремум функции.

2) Второе достаточное условие

Если функция g(x) обладает второй производной причем в некоторой точкепервая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точкаэкстремум функции g(x), причем если , то точка является максимумом; если , то точка является минимумом.

Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика . К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на некотором интервале.

В этой статье дадим необходимые определения, сформулируем достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале и достаточные условия существования экстремума, применим всю эту теорию к решению примеров и задач.

Навигация по странице.

Возрастание и убывание функции на интервале.

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b) , то есть при x=a и x=b , то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X .

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке .

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку называют точкой максимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .

Точку называют точкой минимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума , а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции .

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b , которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

• если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;
• если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

На первом шаге нужно найти область определения функции . В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к нахождению производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2 , а знаменатель обращается в ноль при x=0 . Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Таким образом, и .

В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Ответ:

Функция возрастает при , убывает на интервале (0;2] .

Достаточные условия экстремума функции.

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна.

Другими словами:

Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.

• Находим область определения функции.
• Находим производную функции на области определения.
• Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума , проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).
• Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).
• Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак - они и являются точками экстремума.

Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров нахождения точек экстремума и экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума функции.

Пример.

Найти экстремумы функции .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x=2 .

Находим производную:

Нулями числителя являются точки x=-1 и x=5 , знаменатель обращается в ноль при x=2 . Отмечаем эти точки на числовой оси

Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x=-2, x=0, x=3 и x=6 .

Следовательно, на интервале производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично

Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.

Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.

В точке x=-1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x=-1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции .

В точке x=5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x=-1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции .

Графическая иллюстрация.

Ответ:

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: первый достаточный признак экстремума не требует дифференцируемости функции в самой точке .

Пример.

Найдите точки экстремума и экстремумы функции .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел. Саму функцию можно записать в виде:

Найдем производную функции:

В точке x=0 производная не существует, так как значения односторонних пределов при стремлении аргумента к нулю не совпадают:

В это же время, исходная функция является непрерывной в точке x=0 (смотрите раздел исследование функции на непрерывность):

Найдем значения аргумента, при котором производная обращается в ноль:

Отметим все полученные точки на числовой прямой и определим знак производной на каждом из интервалов. Для этого вычислим значения производной в произвольных точках каждого интервала, к примеру, при x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6 .

То есть,

Таким образом, по первому признаку экстремума, точками минимума являются , точками максимума являются .

Вычисляем соответствующие минимумы функции

Вычисляем соответствующие максимумы функции

Графическая иллюстрация.

Ответ:

.

Второй признак экстремума функции.

Как видите, этот признак экстремума функции требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b) , то есть при x=a и x=b , то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X .

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке .

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку называют точкой максимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называютмаксимумом функции и обозначают .

Точку называют точкой минимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называютминимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума , а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции .

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b , которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;

если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к нахождению производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2 , а знаменатель обращается в ноль при x=0 . Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Пусть f непрерывна на отрезке и дифференцируема во внутренних точках этого отрезка. Тогда существует внутренняя точка с этого отрезка, такая, что касательная к графику функции, проведенная в точке с абсциссой с, параллельна хорде АВ, где A(а;f(x)) и B(b;f(x)). Или: на гладкой дуге АВ всегда есть точка с, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей концы дуги.

Пусть f непрерывна на отрезке и дифференцируема во внутренних точках этого отрезка. Тогда существует внутренняя точка с этого отрезка, такая, что

Следствие 1:если функция f непрерывна на отрезке , а её производная равна нулю внутри этого отрезка, то функция f постоянна на отрезке .

Следствие 2: Если функции f и g непрерывны на отрезке и имеют одинаковые производные внутри этого отрезка, то они отличаются постоянным слагаемым.

2. Достаточный признак возрастания функции:

Если f[/](x)>0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на интервале I.

3. Достаточный признак убывания функции:

Если f[/](x)

Докажем эти признаки по формуле Лагранжа:

Возьмем два любых числа и из интервала. Пусть. По формуле Лагранжа существует число, такое, что.

Число c принадлежит интервалу I, так как точки и принадлежат этому интервалу. Если f[/](x)>0 для, то f[/](с) >0 , и поэтому - это следует из формулы (1), так как ->0. Этим доказано возрастание функций f на интервале I. Если же f[/](x) 0. Доказано убывание функции f на интервале I.

Пример 1. найдите промежутки возрастания и убывания функции

2. Найдем производную функции и ее критические точки: или

3. Отметим на числовой оси точки экстремумов и найдем промежутки возрастания и убывания функции

Ответ: - функция возрастает

Функция убывает

Пример 2. Исследуйте на возрастание (убывание) функцию:

2. Найдем производную и точки экстремумов функции:

3. Отметим критическую точку на числовой оси и найдем промежутки возрастания (убывания) функции:

Ответ: - функция убывает

Функция возрастает

II. Критические точки. Признаки нахождения максимума и минимума функции.

1. Критические точки

Определение: критические точки функции - это внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует.

№1. Найдите критические точки функции f: а) g(x) =

Ответ: , где; , где б) g(x) =

2. Признаки нахождения максимума и минимума функции.

Признак максимума функций:

Если функция f непрерывна в точке х0 , а f[/](x)>0 на интервале (а;х0) и f[/](x)

Или: если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.

Доказательство:

Производная f[/](x)>0 на интервале (а;х0), а функция непрерывна в точке х0 ,следовательно функция f возрастает на промежутке (a; х0], и потому f(x)

На промежутке [х0;в) функция убывает, и потому f(x)

Признаки минимума функции:

Если функция f непрерывна в точке х0 , а f[/](x) 0 на интервале (х0;в), то точка х0 является точкой минимума функции f.

Или: если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума.

Доказательство:

Производная f[/](x) f (x0) для всех х из интервала (а;х0).

На промежутке [х0;в) функция f возрастает, и потому f(x) >f (x0) для всех из интервала (а;в), то есть х0 есть точка минимума f.

III. Вторая производная. Признаки выпуклости и вогнутости.

Пусть и в точке существует вторая производная. Тогда, если, то точка является точкой минимума, а если, то точка является точкой максимума функции.

Если, то выпуклость направлена вниз. Если, то выпуклость направлена вверх.

IV. Наклонные асимптоты

Определение: Прямая является наклонной асимптотой графика функции, где и

Уравнение наклонной асимптоты

Вертикальные асимптоты уравнение наклонной асимптоты

V. План исследования функции

1. Найдем область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность (нечетность).

3. Найти точки пересечения графика с осями координат и определить интервалы знакопостоянства функции.

4. Найти производную.

5. Найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания функции.

6. Составить таблицу.

7. Найти вторую производную.

8. Найти точки перегиба графика функции и установить интервалы выпуклости и вогнутости этого графика.

9. Найти асимптоты графика функции, если это необходимо.

10. Построить эскиз графика данной функции.

11. Найти множество значений функции.

VI. Примеры на исследование функции

2). О четности функции говорить нельзя.

5) Найдем точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания функции:

Функция возрастает

Функция убывает

6) Составим таблицу х

7) Найдем вторую производную

8) Найдем точки перегиба: или

Выпуклость вверх

Выпуклость вниз

9) Найдем наклонные асимптоты не существует. наклонных асимптот нет.

10) График

; х=2 - вертикальная асимптота

2). О четности функции говорить нельзя

3) Найдем точки пересечения графика с осью ОХ.

Найдем точки пересечения графика с осью ОУ.

4) Найдем производную функции:

5) Найдем точки экстремума функции и точки возрастания и убывания функции:

Функция возрастает

Функция убывает

6) Составим таблицу х

7) Найдем вторую производную:

8) Найдем точки перегиба: точек перегиба нет

Выпуклость вниз

Выпуклость вверх

Уравнение наклонной асимптоты

10) График

Вертикальная асимптота

2) о четности функции говорить нельзя

Точек пересечения с осью OX нет.

Не существует. Таких точек нет.

4) Найдем производную:

Функция убывает

Функция возрастает

6) Составим таблицу:

7) Построим график функции:

Вертикальная асимптота

2) - о четности функции говорить нельзя

3) Найдем точки пересечения графика с осью OX.

Найдем точки пересечения графика с осью OY.

4) Найдем производную:

5) Найдем точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания функции.

Критических точек нет.

Точек max и min нет.

6) Составим таблицу:

↘ 7) Найдем вторую производную:

8) Найдем точки перегиба графика функции и установим интервалы выпуклости и вогнутости:

Точек перегиба нет.

Выпуклость вверх

Выпуклость вниз

9) Найдем наклонные асимптоты:

Уравнение горизонтальной асимптоты, т. к. k = 0.

10) Построим график функции:

; - вертикальные асимптоты

2) - функция нечетная, так как. График симметричен относительно начала координат.

3) Найдем точки пересечения графика с осью OX.

Найдем точки пересечения графика с осью OY.

4) Найдем производную:

5) Найдем точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции:

Нет решения.

Функция убывает

Функция возрастает

6) Составим таблицу:

↘ Не сущ.

↗ 7) Найдем наклонные асимптоты:

Наклонных асимптот нет.

8) Найдем вторую производную:

9) Найдем точки перегиба: или или

Выпуклость вниз

Выпуклость вверх

10) Построим график

VII. Историческая справка.

Совсем иным был конец жизненного пути другого творца математического анализа - Готфрида Вильгельма Лей - бница (1646 - 1716). Но обо всем по порядку.

Его предки были выходцами из Польши и носили фамилию Любениц. После переселения в Лейпциг" фамилия их стала произноситься на немецкий лад. Интересно отметить, что и само название этого города тоже славянское, оно означает >. Лейбниц родился в семье профессора философии Лейпцигского университета. Он рано лишился родителей: в 6 лет остался без отца, а в 17 - без матери. В школьные годы Лейбниц поражал своих учителей умением слагать стихи на латинском и греческом языках, увлеченностью философией и математикой. Он отличался большой любознательностью, многие предметы изучал самостоятельно, до знакомства с ними в школе. Память у него была неровной: легко запоминал сложные вещи и хуже - простые; не мог долго производить вычисления, но тяготел к обобщениям и абстракциям. И такая память и склад мышления сохранились у Лейбница на всю жизнь.

В 15. лет Лейбниц - студент философского факультета Лейпцигского университета. Этот факультет был подготовитель - ным для юридического и богословского. Закончив с блеском философский, а затем юридический факультет, 20-летний Лейбниц не смог получить желаемой должности в родном городе. Консервативные порядки в университете ставили материальные преграды к получению докторской степени. Он едет в Нюрнберг и в тамошнем университете с небывалым успехом защищает юридическую диссертацию на степень доктора. Необычайный талант молодого ученого был замечен. Его приглашает на дипломатическую службу курфюрст (князь, имеющий право выбора короля) города Майнца, а позже - ганноверский герцог.

Находясь по делам курфюрста в Париже, Лейбниц встречается со многими известными учеными. Обсуждения различных проблем пробуждают в нем интерес к математике. Позже в письме к И. Бернулли он вспоминал: >. По окончании универси - тета (1666) Лейбниц опубликовал философско-математическую работу >, так что, говоря о своем >, он имел в виду неосведомленность о последних достижениях математики. Чтобы познакомиться с новыми результатами и идеями, возникшими в то время в математике, он обращается за помощью к Гюйгенсу. Тот советует ему внимательно изучить ряд работ, и Лейбниц с завидным рвением берется за дело: изучает труды Сен-Винцента и Валлиса, Декарта и Паскаля, занимается собственными исследованиями.

Но когда он по дипломатическим делам попадает в Лондон и сообщает о своих результатах английским математикам, то с удивлением узнает, что многие из этих результатов им уже известны из рукописи Ньютона >, хранящейся в Королевском обществе. Лейбниц через секретаря этого общества Ольденбурга (1615 - 1677) пишет Ньютону о своих работах. В том же письме он просит Ньютона сообщить его результаты. В ответ он получает (опять через Ольденбурга) два письма, в которых Ньютон разъясняет операции дифференцирования и интегрирования с помощью рядов.

Лейбниц не спешил обнародовать свои результаты в области нового исчисления, возможно, ожидая публикаций Ньютона. Но в 1683 г. Чирнгауз печатает статью о квадратуре алгебраических кривых. В ней не упоминается имя Лейбница, хотя в решении этих вопросов Чирнгауз многим был ему обязан. Чтобы сохранить пальму первенства в этой области, Лейбниц в следующем году печатает статью >, а через год - >. В первой из них содержались основы дифференциального исчисления, во второй - интегрального.

В основу новой науки он положил понятие дифференциала. Сейчас дифференциал df(x0) функции y=f(x) в точке х0 задается формулой df(xo) = f"(xo)dx, где f"(xb) - производная, вычисленная в точке хо, их - приращение аргумента. У Лейбница дифферен - циал определяется как один из катетов характеристического треугольника, о котором шла речь в предыдущей главе (п. 9). Из рисунка 46 видно, что эти определения эквивалентны.

Лейбниц дает правила вычисления дифференциала суммы, разности, произведения, частного, степени, решает дифференци - альные уравнения. Интеграл он определяет как сумму дифференци - алов, подчеркивая взаимную обратность операций дифференциро - вания и интегрирования: >. Откуда вытекают свойст - ва интегралов и способы их вычисле - ния. В последующих статьях Лейбниц развил новый анализ. Он доказал, что любая интегрируемая функция являет - ся ограниченной (необходимое усло - вие интегрируемости), разработал ал - горитм вычисления некоторых типов интегралов, в частности способ интег - рирования рациональных функций. Значение этого способа невозможно переоценить, так как с помощью раз - личных подстановок к интегралам от рациональных функций сводится масса самых разнообразных интегралов. Остановимся на этом способе подробнее.

Для графического решения задачи интегрирования произволь - ных функций Лейбниц придумал (1693) механический прибор - интегратор. Если перемещать один штифт этого прибора по графику функции, то другой вычерчивает график первообразной.

Разработанными Лейбницем алгоритмами и обозначениями мы пользуемся и поныне, как и большинством введенных им математических терминов: функция, переменная, постоянная, координаты, абсцисса, алгоритм, дифференциал и др. Многие из этих терминов употреблялись и раньше, но не имели того конкретного значения, которое придал им Лейбниц.

В начале следующего столетия разгорелась бурная дискуссия о приоритете изобретения анализа. Поводом к ней послужила рецензия (1704) Лейбница на работу Ньютона >, где он указал на идейную общность трактовки бесконечно малой у Ньютона и Фабри. Такое сравнение великого англичанина с малоизвестным французским математиком О н о -ре Фабри (1607 - 1688) вызвало > негодование английских ученых. (А Лейбниц не имел никаких задних мыслей; просто книга Фабри была одной из немногих, которая помогла ему в парижский период ликвидировать >.) Они увидели в этом принижение заслуг Ньютона, и началось. В этом споре права Ньютона отстаивали английские ученые, а Лейбница - континентальные. Поддержка Лейбница большинством континентальных математиков объяснялась тем, что его обозначения оказались столь совершенными, а само учение столь доступным, что сразу нашли сторонников среди многих ученых Европы, что бывает крайне редко при появлении новой теории.

По-видимому, именно этот спор имел в виду замечательный русский поэт Валерий Брюсов, когда писал такие строки:

О Лейбниц, о мудрец, создатель вещих книг! Ты выше мира был, как древние пророки. Твой век, дивясь тебе, пророчеств не достиг И с лестью смешивал безумные упреки.

На самом же деле претензии обеих сторон были безоснователь - ными. Оба ученых независимо пришли к созданию дифференциаль - ного и интегрального исчислений, да и подходы у них были совершенно разные. Ньютон использовал аппарат степенных рядов, а Лейбниц - понятие дифференциала. Разгоревшийся спор привел к тому, что английские математики игнорировали все, что исходило от Лейбница и его школы, а континентальные - работы англичан. Поскольку на континенте опирались на более совершен - ную, чем ньютоновская, символику Лейбница и ученые были объединены общими идеями, опубликованными и доступными каждому, то континентальные математики в посленьютоновский период далеко ушли вперед в сравнении с английскими.

Однако в судьбе Лейбница вражда между английскими и континентальными математиками сыграла роковую роль. Герцог, у которого он служил библиотекарем, историком и био - графом, став (1714) английским королем, уехал в Лондон. По - следовать за ним Лейбниц не мог из-за испорченных отношений с английскими математиками. К тому же герцог был недоволен своим историографом, считая, что он недостаточно уделяет вни - мания своим прямым служебным обязанностям. Лейбницу при - шлось остаться и работать в библиотеке герцога. Немилость ново - испеченного английского короля привела к тому, что окружение ученого сильно поредело. Через два года он умер, провожаемый в последний путь только секретарем и могильщиками. Обидная несправедливость судьбы по отношению к великому ученому, которым было сделано очень много.

Несмотря на огромную занятость по составлению истории герцогского дома, превратившейся в историю Западной Европы, и другие отвлекающие от науки обязанности, Лейбниц оставил множество работ по математике, философии, биологии, теории познания, политике, праву, языкознанию. Будучи всесторонне талантливым ученым, он внес неоценимый вклад в каждую из этих областей. Идеи у него сыпались как из рога изобилия: каждое письмо, любая заметка или статья содержали нечто принципиально новое в рассматриваемой области науки, подчас определяющее дальнейшее ее развитие. Многое было сделано при его непосред - ственном участии. В Берлине он организовал научное общество, преобразованное впоследствии в берлинскую АН, и стал первым его президентом. Он был первым иностранным членом Парижской АН. Лейбниц неоднократно встречался в Берлине с Петром I, для которого разработал ряд проектов развития образования и госу - дарственного правления России, а также создания Петербургской АН.

Но наиболее весомым оказался его вклад в математику. Вступив в нее >, он смог полностью ее преобразовать. После его работ и трудов его ближайших сподвижников не только появился математический анализ, но и вся математика вступила в новую эпоху.