Из школьной программы многие помнят, что существуют признаки делимости. Под данным словосочетанием понимают правила, которые позволяют достаточно быстро определить, является ли число кратным заданному, не совершая при этом непосредственную арифметическую операцию. Данный способ основан на действиях, совершаемых с частью цифр из записи в позиционной

Самые простые признаки делимости многие помнят из школьной программы. Например, то, что на 2 делятся все числа, последняя цифра в записи которых четная. Данный признак наиболее легко запомнить и применять на практике. Если говорить о способе деления на 3, то для многозначных чисел применяется следующее правило, которое можно показать на таком примере. Необходимо узнать, будет ли 273 кратно трем. Для этого выполняем следующую операцию: 2+7+3=12. Полученная сумма делится на 3, следовательно, и 273 будет делиться на 3 таким образом, что в результате получится целое число.

Признаки делимости на 5 и 10 будут следующие. В первом случае запись будет оканчиваться на цифры 5 или 0, во втором случае только на 0. Для того чтобы узнать, кратно ли делимое четырем, следует поступить следующим образом. Необходимо вычленить две последние цифры. Если это два нуля или число, которое делится на 4 без остатка, то и все делимое будет кратно делителю. Нужно отметить, что перечисленные признаки используются только в десятичной системе. Они не применяются в других способах счисления. В таких случаях выводятся свои правила, которые зависят от основания системы.

Признаки деления на 6 следующие. 6 в том случае, если оно кратно и 2, и 3. Для того чтобы определить, делится ли число на 7, нужно удвоить последнюю цифру в его записи. Полученный результат вычитается из первоначального числа, в котором не учитывается последняя цифра. Данное правило можно рассмотреть на следующем примере. Необходимо узнать, кратно ли 364. Для этого 4 умножается на 2, получается 8. Далее выполняется следующее действие: 36-8=28. Полученный результат кратен 7, а, следовательно, и первоначальное число 364 можно разделить на 7.

Признаки делимости на 8 звучат следующим образом. Если три последних цифры в записи числа образуют число, которое кратно восьми, то и само число будет делиться на заданный делитель.

Узнать, делится ли многозначное число на 12, можно следующим образом. По перечисленным выше признакам делимости необходимо узнать, кратно ли число 3 и 4. Если они могут выступать одновременно делителями для числа, то с заданным делимым можно проводить и операцию деления на 12. Подобное правило применяется и для других сложных чисел, например, пятнадцати. При этом делителями должны выступать 5 и 3. Чтобы узнать, делится ли число на 14, следует посмотреть, кратно ли оно 7 и 2. Так, можно рассмотреть это на следующем примере. Необходимо определить, можно ли 658 разделить на 14. Последняя цифра в записи четная, следовательно, число кратно двум. Далее мы 8 умножаем на 2, получаем 16. Из 65 нужно вычесть 16. Результат 49 делится на 7, как и все число. Следовательно, 658 можно разделить и на 14.

Если две последние цифры в заданном числе делятся на 25, то и все оно будет кратно этому делителю. Для многозначных чисел признак делимости на 11 будет звучать следующим образом. Необходимо узнать, кратна ли заданному делителю разность сумм цифр, которые стоят на нечетных и четных местах в его записи.

Нужно отметить, что признаки делимости чисел и их знание очень часто значительно упрощает многие задачи, которые встречаются не только в математике, но и в повседневной жизни. Благодаря умению определить, кратно ли число другому, можно быстро выполнять различные задания. Помимо этого, применение данных способов на занятиях математики поможет развивать у студентов или школьников, будет способствовать развитию определенных способностей.

m и n имеется такое целое число k и nk = m , то число m делится на n

Применение навыков делимости упрощает вычисления, и соразмерно повышает скорость их исполнения. Разберем детально основные характерные особенности делимости .

Наиболее незамысловатый признак делимости для единицы : на единицу делится все числа . Так же элементарно и с признаками делимости на два , пять , десять . На два можно поделить четные число либо то у которого итоговая цифра 0, на пять - число у которого конечная цифры 5 или 0. На десять поделятся только те числа, у которых заключительная цифра 0, на 100 — только те числа, у которых две заключительных цифры нули, на 1000 — только те, у которых три заключительных нуля.

Например:

Цифру 79516 можно разделить на 2, так как она заканчивается на 6— четное число ; 9651 не поделится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1790 поделится на 2, так как конечная цифра нуль. 3470 поделится на 5 (заключительная цифра 0); 1054 не поделится на 5 (конечная цифра 4). 7800 поделится на 10 и на 100; 542000 поделится на 10, 100, 1000.

Менее широко известны, но весьма удобны в использовании характерные особенности делимости на 3 и 9 , 4 , 6 и 8, 25 . Имеются так же характерные особенности делимости на 7, 11, 13, 17, 19 и так далее, но ими пользуются на практике значительно реже.

Характерная особенность деления на 3 и на 9 .

На три и/или на девять без остатка разделятся те числа, у которых результат сложения цифр кратен трем и/или девяти.

Например :

Число 156321, результат сложения 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 поделится на 3 и поделится на 9, соответственно и само число можно поделить на 3 и 9. Число 79123 не поделится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (22) не поделится на эти числа.

Характерная особенность деления на 4, 8, 16 и так далее .

Цифру можно без остатка разделить на четыре , если у нее две последние цифры нули или являются числом , которое можно поделить на 4. Во всех остальных вариантах деление без остатка не возможно.

Например :

Число 75300 поделится на 4, так как последние две цифры нули; 48834 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4; 35908 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.

Схожий принцип пригоден и для признака делимости на восемь . Число делится на восемь, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В прочих случаях частное, полученное от деления, не будет целым числом.

Такие же свойства для деления на 16, 32, 64 и т. д., но в повседневных вычислениях они не используются.

Характерная особенность делимости на 6.

Число делится на шесть , если оно делится и на два и на три, при всех прочих вариантах, деление без остатка невозможно.

Например:

126 поделится на 6, так как оно делится и на 2 (заключительное четное число 6), и на 3 (сумма цифр 1 + 2 + 6 = 9 делится на три)

Характерная особенность делимости на 7.

Число делится на семь если разность его удвоенного последнего числа и "числа, оставшегося без последней цифры"делится на семь, то и само число делится на семь.

Например :

Число 296492. Возьмем последнюю цифру "2", удваиваем, выходит 4. Вычитаем 29649 - 4 = 29645. Проблематично выяснить делится ли оно на 7, следовательно анализируемом снова. Далее удваиваем последнюю цифру "5", выходит 10. Вычитаем 2964 - 10 = 2954. Результат тот же, нет ясности, делится ли оно на 7, следовательно продолжаем разбор. Анализируем с последней цифрой "4", удваиваем, выходит 8. Вычитаем 295 - 8 = 287. Сверяем двести восемьдесят семь - не делится на 7, в связи с этим продолжаем поиск. По аналогии последнюю цифру "7", удваиваем, выходит 14. Вычитаем 28 - 14 = 14. Число 14 делится на 7, итак исходное число делится на 7.

Характерная особенность делимости на 11 .

На одиннадцать делятся только те числа, у которых результат сложения цифр, размещающихся на нечетных местах, либо равен сумме цифр, размещающихся на четных местах, либо отличен на число, делящееся на одиннадцать.

Например:

Число 103 785 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, 1 + 3 + 8 = 12 равна сумме цифр, размещающихся на четных местах 0 + 7 + 5 = 12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, размещающихся на четных местах, есть 1 + 3 + 2 = 6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны друг другу, а их разность 11 - 7 = 4 не делится на 11.

Характерная особенность делимости на 25 .

На двадцать пять поделятся числа , две заключительные цифры которых нули или составляют число, которое можно разделить на двадцать пять (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). При прочих вариантах - число невозможно поделить целиком на 25.

Например:

9450 поделится на 25 (оканчивается на 50); 5085 не делится на 25.

Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:

• На 2 : последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
• На 3 : сумма цифр числа должна делиться на 3;
• На 4 : число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
• На 5 : последняя цифра должна быть 0 или 5;
• На 6 : число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
• Признак делимости на 7 часто пропускается;
• Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8 , хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
• Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
• Признак делимости на 10 , наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
• Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11 . Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.

Вернёмся теперь к признаку делимости на 7. Если о нём рассказывают, тот объединяют с признаком делимости на 13 и советуют использовать так.

Берём число. Разбиваем его на блоки по 3 цифры в каждом (самый левый блок может содержать одну или 2 цифры) и попеременно складываем/вычитаем эти блоки.

Если результат делится на 7, 13 (или 11), то и само число делится на 7, 13 (илb 11).

Основан этот способ, как и ряд математических фокусов на том, что 7х11х13 = 1001. Однако что делать с трехзначными числами, для которых вопрос делимости, бывает, тоже не решить без самого деления.

Используя универсальный признак делимости , можно построить относительно простые алгоритмы определения, делится ли число на 7 и другие "неудобные" числа.

Усовершенствованный признак делимости на 7
Чтобы проверить, делится ли число на 7, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру дважды отнять. Если результат делится на 7, то и само число делится на 7.

Пример 1:
Делится ли на 7 число 238?
23-8-8 = 7. Значит, число 238 делится на 7.
Действительно, 238 = 34х7

Это действие можно проводить многократно.
Пример 2:
Делится ли на 7 число 65835?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 делится на 7 (если бы мы этого не заметили, то могли бы сделать ещё 1 шаг: 6-3-3 = 0, а 0 уж точно делится на 7).

Значит, и число 65835 делится на 7.

На основе универсиального признака делимости, можно усовершенствовать признаки делимости на 4 и на 8.

Усовершенствованный признак делимости на 4
Если половина числа единиц в сумме с числом десятков - чётнное число, то число делится на 4.

Пример 3
Делится ли число 52 на 4?
5+2/2 = 6, число чётное, значит, число на 4 делится.

Пример 4
Делится ли число 134 на 4?
3+4/2 = 5, число нечётное, значит, 134 на 4 не делится.

Усовершенствованный признак делимости на 8
Если сложить удвоенное число сотен, число десятков и половину числа единиц, и результат будет делиться на 4, то само число делится на 8.

Пример 5
Делится ли число 512 на 8?
5*2+1+2/2 = 12, число делится на 4, значит, 512 делится на 8.

Пример 6
Делится ли число 1984 на 8?
9*2+8+4/2 = 28, число делится на 4, значит, 1984 делится на 8.

Признак делимости на 12 - это объединение признаков делимсоти на 3 и на 4. Это же работает и для любых n, являющихся произведением взаимнопростых p и q. Чтобы число делилось на n (которое равно произведению pq,актих, что НОД(p,q)=1), одно должно делиться одновремено на p и на q.

Однако будьте внимательны! Чтобы работали составные признаки делимости, множители числа должны быть именно взаимнопростыми. Нельзая сказать, что число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4.

Усовершенствованный признак делимости на 13
Чтобы проверить, делится ли число на 13, надо от числа отбросить последнюю цифру и к получившемуся результату её четырежды прибавить. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 7
Делится ли на 8 число 65835?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Число 43 не делится на 13, значит, и число 65835 не делится на 13.

Пример 8
Делится ли на 13 число 715?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 делится на 13, значит, и число 715 делится на 13.

Признаки делимости на 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 и прочие составные числа, не являющиеся степенями простых, аналогичны признакам делимости на 12. Мы проверяем делимость на взаимно-простыем множители этих чисел.

• Для14: на 2 и на 7;
• Для 15: на 3 и на 5;
• Для 18: на 2 и на 9;
• Для 21: на 3 и на 7;
• Для 20: на 4 и на 5 (или, по-другому, последняя цифра должна быть нулём, а предпоследняя - чётной);
• Для 24: на 3 и на 8;
• Для 26: на 2 и на 13;
• Для 28: на 4 и на 7.

Усовершенствованный признак делимости на 16.
Вместо того, чтобы проверять, делится ли 4-циферное окончание числа на 16, можно сложить цифру единиц с увеличенной в 10 раз цифрой десятков, с учетверённой цифрой сотен и с
увеличенной в восемь раз цифрой тысяч, и проверить, делится ли результат на 16.

Пример 9
Делится ли число 1984 на 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 не делится на 16, значит, и 1984 не делится на 16.

Пример 10
Делится ли число 1526 на 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 не делитсся на 16, значит, и 1526 делится на 16.

Усовершенствованный признак делимости на 17.
Чтобы проверить, делится ли число на 17, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру пять раз отнять. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 11
Делится ли число 59772 на 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 делится на 17, значит и число 59772 делится на 17.

Пример 12
Делится ли число 4913 на 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 делится на 17, значит и число 4913 делится на 17.

Усовершенствованный признак делимости на 19.
Чтобы проверить, делится ли число на 19, надо удвоенную последнюю цифру прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 13
Делится ли число 9044 на 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 делится на 19, значит и число 9044 делится на 19.

Усовершенствованный признак делимости на 23.
Чтобы проверить, делится ли число на 23, надо последнюю цифру, увеличенную в 7 раз, прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 14
Делится ли число 208012 на 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Вообще-то, уже можно заметить, что 253 - это 23,

В этой статье мы рассмотрим признаки делимости чисел и как использовать признаки делимости при решении задач.

Признаки делимости чисел.

1. Признак делимости на 2 . Число делится на 2, если его запись оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6, 8. Числа, которые делятся на 2 называются четными, соответственно, числа, которые на 2 не делятся, называются нечетными.

2. Признак делимости на 5 . Число делится на 5, если его запись оканчивается цифрой 0 или 5.

3. Признак делимости на 10 . Число делится на 10, если его запись оканчивается цифрой 0.

Вообще, если двумя последними цифрами записи числа являются нули, то число делится на 100, если три последние цифры записи числа нули, то на 1000 и т.д.

4. Признак делимости на 4 . Если две последние цифры записи числа образуют число, которое делится на 4, то исходное число делится на 4.

Например, две последние цифры числа 2116 образуют число 16, которое делится на 4, следовательно, 2116 делится на 4.

5. Признак делимости на 3 и на 9 . Если сумма цифр числа делится на 3 (соответственно на 9), то число делится на 3 (соответственно на 9).

Например, число 312 делится на 2 (последняя цифра 2) и на 3 (сумма цифр делится на 3), и, следовательно, на 6.

Вообще, если числа - взаимно простые (то есть не имеют общих делителей) и данное число делится на каждое из этих чисел, то оно делится на произведение этих чисел

6. Признак делимости на 7 . Число делится на 7, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 7.

Например, число 427 делится на 7, т.к. число десятков в этом числе 42, 42х3+7=126+7=133; 133 делится на 7, т.к. число десятков в этом числе 13, 13х3+3==39+3=42.

7. Признак делимости на 11 . Число делится на 11, если модуль разности между суммой цифр, стоящих на нечетных местах и, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11, или если модуль разности равен нулю.

Например, число 12397 делится на 11, т.к. |(1+3+7)-(2+9)|=0

Чтобы установить делимость чисел, пользуются следующими признаками делимости суммы и произведения :

1. Сумма чисел делится на данное число, если каждое слагаемое суммы делится на это число.

2. Произведение чисел делится на данное число, если хотя бы один из множителей делится на это число.

Пример 1. Доказать, что число кратно 5.

Решение. Число кратно 5, если последняя цифра в записи числа равна 0 или 5.

Если число оканчивается цифрой 1, то любая степень этого числа оканчивается цифрой 1, следовательно, число оканчивается цифрой 1.

Если число оканчивается цифрой 6, то любая степень этого числа оканчивается цифрой 6, значит, число оканчивается цифрой 6.

Таким образом, разность оканчивается цифрой 5, и, следовательно, делится на 5.

Пример 2. Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9 и 11.

а) 1. Число делится на 2 и 5, следовательно, последняя цифра - 0

2. Числа 2, 5, 9 и 11 не имеют общих делителей, следовательно искомое число должно делиться на произведение этих чисел, то есть на 990.

Наибольшее четырехзначное число, которое делится на 990 и оканчивается на 0 - это 9900.

По условию нам надо найти число, все цифры которого различны. Предыдущее число, которое делится на 2, 5, 9 и 11 равно 9900-990=8910. Это число удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: 8910

Пример 3. Использовав все цифры от 1 до 9 по одному разу, составьте наибольшее девятизначное число, делящееся на 11.

Решение. В нашем числе модуль разности между суммой цифр, стоящих на нечетных местах и, и суммой цифр, занимающих чётные места должен делиться на 11.

Число должно быть наибольшим, поэтом цифры, стоящие на первых местах должны быть наибольшими. Пусть число имеет вид Чтобы число делилось на 11, нужно, чтобы значение выражения было кратно 11 или равно нулю.

Упростим выражение, получим:

Поскольку - это цифры, и самые большие уже задействованы, скомбинируем цифры 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы При этом числа в каждой группе: и должны быть расположены в порядке убывания. Подходит такая комбинация:

Ответ: 987652413

Признаками делимости пользуются при разложении числа на простые множители.

Натуральное число называется простым, если оно имеет только 2 различных делителя: единицу и само число .

Например, простыми числами являются числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т.д.

Внимание! Число 1 не является простым и не является составным.

Чтобы найти последовательность простых чисел, пользуются алгоритмом, который называется решето Эратосфена :

1. Выписываем ряд натуральных чисел:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, ...

2.Зачеркиваем числа, кратные числу 2 - каждое второе число после 2:

2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9, 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15, 16 , 17, 18 , 19, 20 , 21, 22 , 23, 24 , 25,...

3. Зачеркиваем числа, кратные числу 3 - каждое третье число после 3:

2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15 , 16 , 17, 18 , 19, 20 , 21 , 22 , 23, 24 , 25,...

4. Зачеркиваем числа, кратные числу 5 - каждое пятое число после 5:

2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9, 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15 , 16 , 17, 18 , 19, 20 , 21 , 22 , 23, 24 , 25 ,...

2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9, 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17, 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 ,...

Основная теорема арифметики:

Любое натуральное число, большее единицы, можно представить в виде произведения простых сомножителей, причем единственным способом.

Пример 4. Разложить число 4356 на простые множители.

Решение: Применим признаки делимости. Последняя цифра записи числа - четная, разделим число на 2. Будем делить на 2, пока возможно делить нацело.

Число 1089 на 2 уже не делится, но делится на 3 (сумма цифр числа равна 18). Будем делить на 3, пока это возможно.

121 делится на 11.

Итак,

Это равенство называется разложением числа 4356 на простые множители.

Разложение на простые множители широко применяется при решении самых разных задач.

Пример 5. Сократить дробь

Разложим числитель и знаменатель на простые множители:

Пример 6. Извлечь квадратный корень:

Воспользуемся разложением числа 4356 на простые множители:

Пример 7. Найдите наименьшее натуральное число, половина которого - квадрат, треть - куб, а пятая часть - пятая степень.

Наименьшее число, удовлетворяющее этим условиям представляет из себя произведение степеней чисел 2, 3, 5.

Пусть это число имеет вид:

а) Половина числа - квадрат, следовательно, n-1, m и k - четные числа.

б) Треть числа - куб, следовательно, n, m-1 и k делятся на 3.

в) Пятая часть числа - пятая степень, следовательно, n, m и k-1 - кратны 5.

k кратно 2 и 3, следовательно k может быть равно 6 (удовлетворяет а) и б) ), 6-1 делится на 5 (удовлетворяет в) ).

n кратно 3 и 5, следовательно, n может быть равно 15 (удовлетворяет в) и б) ), 15-1 делится на 2 (удовлетворяет а) ).

m - кратно 5 и 2, следовательно, m может быть равно 10 (удовлетворяет в) и а) ), 10-1 делится на 3 (удовлетворяет б) ).

Правила деления на числа от 1 до 10, а также на 11 и 25 были выведены, чтобы упростить процесс деления натуральных чисел. Те из них, которые оканчиваются на 2, на 4, на 6, на 8, на 0 считаются четными.

Что же такое признаки делимости?

По сути это алгоритм, который позволяет быстро определить, будет ли число делиться на то, которое задано заранее. В случае, когда признак делимости дает возможность выяснить еще и остаток от деления, его называют признаком равноостаточности.

Признак делимости на цифру 2

Число можно разделить на два, если последняя его цифра четная или ноль. В других случаях разделить не удастся.

Например:

52 734 делится на 2, потому как его последняя цифра 4 - то есть четная. 7 693 не делится на цифру 2, так как 3 - нечетная. 1 240 делится, потому что последняя цифра ноль.

Признаки делимости на 3

Цифре 3 кратны только те числа, у которых сумма делится на 3

Пример:

17 814 можно разделить на цифру 3, потому что общая сумма его цифр равна 21 и на 3 делится.

Признак делимости на цифру 4

Число можно разделить на 4, если последние две его цифры ноли или могут образовать число, кратное 4. Во всех других случаях разделить не получится.

Примеры:

31 800 можно разделить на 4, потому как в конце него два ноля. 4 846 854 не делится на 4 из-за того, что последние две цифры образуют число 54, а оно на 4 не делится. 16 604 поддается делению на 4, потому что последние две цифры 04 образуют число 4, которое делится на 4.

Признак делимости на цифру 5

5 кратны числа, в которых последняя цифра ноль или пять. Все другие - не делятся.

Пример:

245 кратно 5, потому что последняя цифра 5. 774 не кратно 5 из-за того, что последняя цифра четыре.

Признак делимости на цифру 6

Число можно разделить на 6, если его можно одновременно разделить на 2 и 3. Во всех других случаях - не делится.

Например:

216 можно разделить на 6, потому что оно кратно и двум и трем.

Признак делимости на 7

Кратно 7 число в том случае, если при вычитании последней удвоенной цифры из этого числа, но без нее (без последней цифры) получилось значение, которое можно поделить на 7.

Например, 637 кратно 7, потому что 63-(2·7)=63-14=49. 49 можно разделить на.

Признак делимости на цифру 8

Похож на признак делимости на цифру 4. Число можно разделить на 8, если три (а не две, как в случае с четверкой) последние цифры нули или могут образовать число, кратное 8. Во всех других случаях - не делится.

Примеры:

456 000 можно разделить на 8, потому как в конце него три нуля. 160 003 не получится разделить на 8, потому что три последние цифры образуют число 4, которое не кратно 8. 111 640 кратно 8, потому что последние три цифры образуют число 640, которое можно поделить на 8.

К сведению: можно назвать такие же признаки и для совершения деления на числа 16, 32, 64 и так далее. Но на практике они значения не имеют.

Признак делимости на 9

9-ке кратны те числа, сумму цифр которых можно разделить на 9.

Например:

Число 111 499 на 9 не делится, потому что сумму цифр (25) на 9 не разделить. Число 51 633 можно разделить на 9, потому что его сумма цифр (18) 9-ти кратна.

Признаки делимости на 10, на 100 и на 1000

На 10 можно разделить те числа, последняя цифра у которых 0, на 100 -те, у которых последние две цифры ноли, на 1000 - те, у которых последние три цифры ноли.

Примеры:

4500 можно поделить на 10 и 100. 778 000 кратно и 10, и 100, и 1000.

Теперь вы знаете, какие признаки делимости чисел существуют. Успешных вам вычислений и не забывайте о главном: все эти правила даны для упрощения математических расчетов.