Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Считается, что в математике на любую задачу обязательно есть точный ответ. Однако, существует целый раздел математики, посвящённый изучению и описанию таких явлений и задач, точно определить результаты которых нельзя, явлений, в которых главенствует случайность. Этот раздел называется теория вероятностей.

В школьном курсе математики данная тема затрагивается поверхностно. В частности, даётся единственное, так называемое «классическое» определение вероятностей, которое применимо не всегда. В частности, с помощью классической вероятности нельзя решить даже относительно простую задачу о вероятности попадания в мишень.

В данной работе мы намерены рассмотреть другой вариант определения вероятностей - геометрическую вероятность - которая позволяет решать подобные задачи.

Цель работы: определить пользу геометрической вероятности при решении задач.

Задачи:

Дать определение геометрической вероятности.

Рассмотреть свойства геометрической вероятности.

Сопоставить полученные свойства со свойствами классической вероятности.

Рассмотреть применения геометрической вероятности при решении задач.

Определить ограничения на использование геометрической вероятности.

Актуальность работы заключается в том, что геометрическая вероятность может помочь определить, насколько вероятно то или иное явление в тех случаях, где классическая вероятность бессильна.

Глава 1. Определение геометрической вероятности

В 6 классе затрагивается (а в 9 - несколько углубляется) понятие вероятности. Вероятность можно определить по-разному. В большинстве учебников для школ даётся следующее определение вероятности:

Где - количество результатов, когда наступает событие, а - количество всех равновозможных результатов. Данное определение вероятности называется классическим .

Однако, оно применимо не всегда.

§ 1.1. Длины

Рассмотрим следующую задачу:

На отрезок наугад бросается точка. Данный отрезок разделён на промежутки . Чему равна вероятность попадания в отрезок больше нуля, а их произведение отрицательно.
Ответ: 0;25.

4.6. Во время боевой учебы н-ская эскадрилья бомбардировщиков получила задание атаковать нефтебазу “противника”. На территории нефтебазы, имеющей форму прямоугольника со сторонами 30 и 50 м, находятся четыре круглых нефтебака диаметром 10 м каждый. Найдите вероятность прямого поражения нефтебаков бомбой, попавшей на территорию нефтебазы, если попадание бомбы в любую точку этой базы равновероятно.
Ответ: π/15.

4.7. Два действительных числа x и y выбираются наудачу так, что сумма их квадратов меньше 100. Какова вероятность, что сумма квадратов этих чисел окажется больше 64?
Ответ: 0;36.

4.8. Двое друзей условились встретиться между 13 и 14 часами. Пришедший первым ждет второго в течение 20 минут, после чего уходит. Определите вероятность встречи друзей, если моменты их прихода в указанном промежутке времени равновозможны.
Ответ: 5/9.

4.9. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов равновозможно в течение данных суток. Определите вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода равно одному часу, а второго - двум часам.
Ответ: ≈ 0;121.

4.10. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает двух. Найдите вероятность того, что произведение x · y будет не больше единицы, а частное y/x не больше двух.
Ответ: ≈ 0;38.

4.11. В области G, ограниченной эллипсоидом , наудачу зафиксирована точка. Какова вероятность того, что координаты (x; y; z) этой точки будут удовлетворять неравенству x 2 +y 2 +z 2 ≤4?
Ответ: 1/3.

4.12. В прямоугольник с вершинами R(-2;0), L(-2;9), M (4;9), N (4;0) брошена точка. Найдите вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам 0 ≤ y ≤ 2x – x 2 +8.
Ответ: 2/3.

4.13. Область G ограничена окружностью x 2 + y 2 = 25, а область g - этой окружностью и параболой 16x - 3y 2 > 0. Найдите вероятность попадания в область g.
Ответ: ≈ 0;346.

4.14. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает единицы. Найдите вероятность того, что сумма x + y не превышает единицы, а произведение x · y не меньше 0,09.
Ответ: ≈ 0;198.